Cho các hàm số: $u(x)=e^{\sin x}-\cos x$ và $v(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}$
1. Hỏi $u$ và $v$ có phải là các VCB khi $x \to 0$ không ?
2. Tính giới hạn: $L=\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{u(x)}{v(x)}$.
1) $\lim_{x\to 0}u(x)=\lim_{x\to 0}(e^{\sin x}-\cos x)=0$
$\lim_{x\to 0^+}v(x)=\lim_{x\to 0^+}\sqrt{x+\sqrt{x}}=0$
$\lim_{x\to 0}v(x)$ không tồn tại.
Vậy $u$ là VCB khi $x\to 0$, còn $v$ thì không ($v$ chỉ là VCB khi $x\to 0^+$)
2) Áp dụng quy tắc L'Hospital :
$\lim_{x \to 0^+} \dfrac{u(x)}{v(x)}=\frac{\lim_{x \to 0^+} u'(x)}{\lim_{x \to 0^+} v'(x)}$
$\lim_{x \to 0^+} u'(x)=\lim_{x \to 0^+}(e^{\sin x}\cos x+\sin x)=1$
$\lim_{x \to 0^+} v'(x)=\lim_{x \to 0^+}\left ( \frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}} \right )=\lim_{x \to 0^+}\left ( \frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x^2+x\sqrt{x}}} \right )=+\infty$
$\Rightarrow \lim_{x \to 0^+} \dfrac{u(x)}{v(x)}=0$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 08-05-2023 - 09:42