Cho $p$ là số nguyên tố. Tìm mọi số nguyên n thỏa mãn với mọi số nguyên $x$ nếu $p\mid x^{n}-1$ thì $p^{2}\mid x^{n}-1$
Cho $p$ là số nguyên tố. Tìm mọi số nguyên n thỏa mãn với mọi số nguyên $x$ nếu $p\mid x^{n}-1$ thì $p^{2}\mid x^{n}-1$
Bắt đầu bởi Sprouts, 07-05-2023 - 14:58
Lời giải nmlinh16, 07-05-2023 - 21:57
Điều kiện cần:
Giả sử $n$ thỏa mãn tính chất đã phát biểu. Với $x = p+1$ thì dễ thấy $p \, | \, (p+1)^n - 1$ nên ta phải có $p^2 \, | \, (p+1)^n - 1$.
Dùng nhị thức Newton ta thấy $(p+1)^n \equiv 1 + np \pmod{p^2}$, suy ra $p^2 \,|\, np$, hay $p \,|\, n$.
Điều kiện đủ:
Giả sử $p \, | \,n$. Viết $n = kp$. Giả sử $p \,|\, x^n-1$. Theo định lý nhỏ Fermat $$1 \equiv x^n \equiv x^{kp} \equiv x^k \pmod p.$$ Ta có $$x^n - 1 = x^{kp} - 1 = (x^k - 1)(x^{k(p-1)} + x^{k(p-2)} + \cdots + x^k + 1),$$ mà $x^k - 1 \equiv 0 \pmod p$ và $x^{k(p-1)} + x^{k(p-2)} + \cdots + x^k + 1 \equiv 1 + 1 + \cdots + 1 \equiv p \equiv 0 \pmod p$ nên $p^2 \,|\, x^n - 1$.
Vậy tất cả số tự nhiên thỏa mãn đề bài là các số tự nhiên chia hết cho $p$.
Đi đến bài viết »
#2
Đã gửi 07-05-2023 - 21:57
nmlinh16
-
- ĐHV Toán học Hiện đại
-
- 168 Bài viết
Trung sĩ
✓ Lời giải
Điều kiện cần:
Giả sử $n$ thỏa mãn tính chất đã phát biểu. Với $x = p+1$ thì dễ thấy $p \, | \, (p+1)^n - 1$ nên ta phải có $p^2 \, | \, (p+1)^n - 1$.
Dùng nhị thức Newton ta thấy $(p+1)^n \equiv 1 + np \pmod{p^2}$, suy ra $p^2 \,|\, np$, hay $p \,|\, n$.
Điều kiện đủ:
Giả sử $p \, | \,n$. Viết $n = kp$. Giả sử $p \,|\, x^n-1$. Theo định lý nhỏ Fermat $$1 \equiv x^n \equiv x^{kp} \equiv x^k \pmod p.$$ Ta có $$x^n - 1 = x^{kp} - 1 = (x^k - 1)(x^{k(p-1)} + x^{k(p-2)} + \cdots + x^k + 1),$$ mà $x^k - 1 \equiv 0 \pmod p$ và $x^{k(p-1)} + x^{k(p-2)} + \cdots + x^k + 1 \equiv 1 + 1 + \cdots + 1 \equiv p \equiv 0 \pmod p$ nên $p^2 \,|\, x^n - 1$.
Vậy tất cả số tự nhiên thỏa mãn đề bài là các số tự nhiên chia hết cho $p$.
- perfectstrong, DOTOANNANG, Sprouts và 1 người khác yêu thích
$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$
"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
