Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(x)f\left (\frac{f(x)}{x}\right )=x^4$


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 30-09-2020 - 10:48

Bài toán. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N^*}\rightarrow\mathbb{N^*}$ thoả mãn các điều kiện:

$(1)$   $f(x)$ $\vdots$ $x,\forall x\in\mathbb{N^*}.$                  $(2)$   $f(x)f\left (\frac{f(x)}{x}\right )=x^4,\forall x\in\mathbb{N^*}.$

Lời giải. Với mỗi số tự nhiên $n,$ kí hiệu $\partial (n)$ là số ước nguyên tố của $n.$ Kí hiệu $\mathbb{P}$ là tập các số nguyên tố.

Ta sẽ chứng minh $f(n)=n^2,\forall n\in\mathbb{N^*}$ bằng quy nạp theo $\partial (n).$

$\bullet$ $\partial (n)=0$ $\Leftrightarrow n=1:$ $(2)\xrightarrow{x=1}f(1)f(f(1))=1\Rightarrow f(1)=1.$

$\bullet$ $\partial (n)=1$ $\Leftrightarrow n=p^k, p\in\mathbb{P},k\in\mathbb{N^*}.$ Ta sẽ chứng minh $f(p^k)=p^{2k},\forall p\in\mathbb{P},k\in\mathbb{N}$ bằng quy nạp theo $k.$

$\star$ $k=1:$ $(2)\xrightarrow{x=p}f(p)f\left (\frac{f(p)}{p}\right )=p^4\Rightarrow p^4$ $\vdots$ $f(p)\overset{(1)}{\Rightarrow}f(p)$ $\vdots$ $p\Rightarrow f(p)\in\left\{ p,p^2,p^3,p^4\right\}.$ Thay các giá trị này vào $\underset{x=p}{(2)}$ ta thấy chỉ có $f(p)=p^2$ thoả mãn.

$\star$ Giả sử $f(p^i)=p^{2i},\forall i=\overline{1,k-1},k\in\mathbb{N^*}.$ Do $(1)$ nên ta có thể đặt $f(p^k)=ap^{kt},a,t\in\mathbb{N^*},p^k\nmid a.$

$(2)\xrightarrow{x=p^k}ap^{kt}f(ap^{k(t-1)})=p^{4k}\overset{(1)}{\Rightarrow}p^{4k}$ $\vdots$ $p^{k(2t-1)}\Rightarrow t\in\left\{1,2\right\}.$

Nếu $t=1$ thì $(2)\xrightarrow{x=p^k}af(a)=p^{3k}\Rightarrow p^{3k}$ $\vdots$ $a\overset{p^k\nmid a}{\Rightarrow}p^k$ $\vdots$ $a$ và $a<p^k.$ Theo giả thuyết quy nạp, $p^{3k}=af(a)=a^3\Rightarrow a=p^k,$ vô lí.

Vậy $t=2,$ nên $(2)\xrightarrow{x=p^k}af(ap^k)=p^{2k}\Rightarrow f(ap^k)=\frac{p^{2k}}{a}$ và $a$ là một luỹ thừa của $p.$

$(2)\xrightarrow{x=ap^k}\frac{p^{2k}}{a}f\left (\frac{p^k}{a^2}\right )=a^4p^{4k}\Rightarrow f\left (\frac{p^k}{a^2}\right )=a^5p^{2k}.$ Theo giả thuyết quy nạp, $a^5p^{2k}=f\left (\frac{p^k}{a^2}\right )=\frac{p^{2k}}{a^4}\Rightarrow a=1\Rightarrow$ $f(p^k)=p^{2k}.$

Theo nguyên lí quy nạp, $f(p^k)=p^{2k},\forall p\in\mathbb{P},k\in\mathbb{N}.$

$\bullet$ Giả sử $f(u)=u^2,\forall u\in\mathbb{N^*},\partial (u)\leq v-1,v\in\mathbb{N^*}.$ Ta sẽ chứng minh $f(w)=w^2,\forall w\in\mathbb{N^*},\partial (w)=v.$

Giả sử $\exists a\in\mathbb{N^*}:\partial (a)=v,f(a)\neq a^2.$ Theo nguyên lí cực hạn, ta có thể chọn $a$ là số nhỏ nhất thoả mãn điều kiện đó.

Do $(1)$ nên ta có thể đặt $f(a)=ba^t,b,t\in\mathbb{N^*},a\nmid b.$

Thế thì $(2)\xrightarrow{x=a}ba^tf(ba^{t-1})=a^4\overset{(1)}{\Rightarrow}a^4$ $\vdots$ $a^{2t-1}\Rightarrow t\in\left\{1,2\right\}.$

Nếu $t=2$ thì $(2)\xrightarrow{x=a}f(ab)=\frac{a^2}{b}\overset{(1)}{\Rightarrow}a^2$ $\vdots$ $ab^2\Rightarrow a$ $\vdots$ $b^2.$ Thế thì $(2)\xrightarrow{x=ab}a^2b^5=f\left (\frac{a}{b^2}\right )=\frac{a}{b^2}$ theo giả sử $\Rightarrow b=1\Rightarrow f(a)=a^2,$ vô lí.

Vậy $t=1\Rightarrow f(a)=ab$ và $bf(b)=a^3\overset{(1)}{\Rightarrow}a^3$ $\vdots$ $b\Rightarrow\partial (b)\leq v.$ Tương tự, ta có thể đặt $f(b)=cb^y,c,y\in\mathbb{N^*},b\nmid c\Rightarrow y\in\left\{1,2\right\}.$

Lưu ý rằng nếu $a=b$ thì $f(a)=a^2,$ vô lí và nếu $a>b$ thì theo giả sử $a^3=bf(b)=b^3\Rightarrow a=b,$ vô lí nên $a<b.$

Nếu $y=2$ thì $f(b)=b^2c\Rightarrow a^3=bf(b)=b^3c\Rightarrow a$ $\vdots$ $b\Rightarrow a\geq b,$ vô lí. Vậy $y=1\Rightarrow f(b)=bc\Rightarrow a^3=b^2c.$ Lại có $a<b\Rightarrow\partial (c)\leq v$ và $c<a.$

Thế thì $(2)\xrightarrow{x=b}b^3=cf(c)=c^3$ theo giả sử $\Rightarrow c=b,$ vô lí vì $c<a<b.$ Vậy giả sử đã cho là sai và $f(w)=w^2,\forall w\in\mathbb{N^*},\partial (w)=v.$

Theo nguyên lí quy nạp, $f(n)=n^2,\forall n\in\mathbb{N^*}.$


Sống thành thật một cách thông minh.
Sống lãng mạn một cách thực tế.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh