giả sử $p\equiv 2(mod3)$ đặt p=3k+2
$p|x^2+x+1\Rightarrow x^3\equiv 1(modp)$ (*)
cm được gcd(x,p)=1 nên $x^{3k+1}=x^{p-1}\equiv 1(mod p)$
vì (*) nên $x\equiv 1(modp)\Rightarrow x^2+x+1\equiv 3(mod p)$ nên p=3 (VL)
Một lời giải quá sức là nhanh chóng của chuyenndu ạ! Còn mình giải bài này thực sự khá vất vả (mình không giỏi môn Số học lắm). Trước khi tìm ra chứng minh mình đã phải kiểm tra tính đúng đắn của bài toán bằng cách phân tích thành thừa số nguyên tố $x^2+x+1$ với hơn $100$ giá trị của $x$.
Lời giải của mình có ý tưởng hoàn toàn giống với chuyenndu. Mặc dù vậy, mình muốn viết lời giải chi tiết hơn dưới đây để làm rõ một số chỗ lập luận quan trọng.
Lời giải. Do $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p\equiv{1} \pmod{3}$ hoặc $ p\equiv{2} \pmod{3}$. Ta chứng minh không thể xảy ra trường hợp $p\equiv{2}\pmod{3}$.
Thật vậy, giả sử $p\equiv 2\pmod{3}$ khi đó $p$ có dạng $p=3m+2$ với $m \in \mathbb{N}$.
Ta có $x^{p-1}=x^{3m+1}=\left( x^{3}\right)^m.x$. Mặt khác, do $p$ là ước của $x^2+x+1$ nên $p$ cũng là ước của $x^3-1$, hay $x^3 \equiv 1 \pmod{p}$.
Vì vậy $x^{p-1} \equiv x \pmod{p}$.
Dễ thấy $(x, p)=1$ nên theo Định lý Fermat nhỏ ta có $x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.$
Do đó $x \equiv 1 \pmod{p}$. Kết hợp với $x^2+x+1 \equiv 0 \pmod{p}$ ta suy ra $p$ phải là ước của $3$. Điều này trái với giả thiết.
Giả sử ban đầu sai, chứng tỏ $p\equiv{1} \pmod{3}$. Đây là điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 09-05-2023 - 13:38