Đến nội dung

Hình ảnh

Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC. Chứng minh rằng BC < 2AC.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC, đường trung tuyến AM.

Chứng minh rằng góc AMC là góc tù, từ đó suy ra BC < 2AC.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 12-05-2023 - 21:31

N.K.S - Learning from learners!


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Bài này là THCS chứ nhỉ? Bất đẳng thức tam giác: $BC < AB+AC < 2AC$.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Bài này là THCS chứ nhỉ? Bất đẳng thức tam giác: $BC < AB+AC < 2AC$.

 

Xin lỗi bạn mình gửi thiếu đề, lần đầu tham gia diễn đàn nên rất mong các bạn thông cảm ạ!


N.K.S - Learning from learners!


#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Bài này vẫn chỉ ở tầm THCS. Mình sẽ chuyển bài về bên mục ấy.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Bài này vẫn chỉ ở tầm THCS. Mình sẽ chuyển bài về bên mục ấy.

 

Đồng ý với bạn vì bài này có một cách giải rất hay chỉ dựa vào kiến thức lớp 7.

Nhưng nếu dùng kiến thức lớp 10(công thức đường trung tuyến) thì cũng cho lời giải ngắn gọn mà không cần phải vẽ thêm hình.

Chúc cả nhà cuối tuần vui vẻ!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 12-05-2023 - 22:19

N.K.S - Learning from learners!


#6
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Đồng ý với bạn vì bài này có một cách giải rất hay chỉ dựa vào kiến thức lớp 7.

Nhưng nếu dùng kiến thức lớp 10(công thức đường trung tuyến) thì cũng cho lời giải ngắn gọn mà không cần phải vẽ thêm hình.

Chúc cả nhà cuối tuần vui vẻ!!!

Nếu vậy thì mọi bài toán THCS nên được đưa hết lên THPT hay Olympic nhỉ?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#7
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Nếu vậy thì mọi bài toán THCS nên được đưa hết lên THPT hay Olympic nhỉ?

 

Cuộc sống mà admin, nhiều lúc phiên phiến  :D

Đến hiện giờ vẫn còn nhiều ý kiến làm sao phân biệt TOÁN SƠ CẤP hay TOÁN CAO CẤP và giữa chúng có danh giới nào không? Thôi thì đơn giản: bài nào dùng cách giải sơ cấp thì nó là toán sơ cấp, giải bằng toán cao cấp thì nó là cao cấp.

Một bài nếu có thể thì hãy làm theo nhiều cách khác nhau, điều đó rất quan trọng đối với các bạn học sinh cũng như những  nhà khoa học nghiên cứu các lĩnh vực khác.

Xin trích dẫn 1 đoạn trong bài giảng của GS. Hà Huy Khoái “NHỮNG CÁCH CHỨNG MINH KHÁC NHAU CỦA ĐỊNH LÝ EUCLID VỀ SỰ VÔ HẠN CỦA TẬP HỢP CÁC SỐ NGUYÊN TỐ” : “…leo lên đỉnh núi không phải là việc duy nhất của chúng ta(vì lên đó có thể chỉ còn việc…quay về!) mà chúng ta còn muốn tìm kiếm những điều thú vị trên con đường đi đến đó, còn muốn ngắm nhìn xung quanh, để hiểu rõ hơn vị trí mà ta đang hướng đến trong khung cảnh chung của cả khu rừng…”


N.K.S - Learning from learners!


#8
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Cuộc sống mà admin, nhiều lúc phiên phiến  :D

Đến hiện giờ vẫn còn nhiều ý kiến làm sao phân biệt TOÁN SƠ CẤP hay TOÁN CAO CẤP và giữa chúng có danh giới nào không? Thôi thì đơn giản: bài nào dùng cách giải sơ cấp thì nó là toán sơ cấp, giải bằng toán cao cấp thì nó là cao cấp.

Một bài nếu có thể thì hãy làm theo nhiều cách khác nhau, điều đó rất quan trọng đối với các bạn học sinh cũng như những  nhà khoa học nghiên cứu các lĩnh vực khác.

 

Bản thân mình là Điều hành viên THCS khi đọc bài của anh thvn cũng đã có ý định chuyển về chuyên mục THCS, cùng lắm nếu như anh thvn nói sử dụng công thức tính đường trung tuyến của lớp 10 thì chuyển nó vào chuyên mục THPT. 

 

Các bài toán Olympic, trong quan điểm của mình, cần một độ sâu trong tư duy nhất định, tức là cần tới những lập luận tương đối phức tạp hoặc các định lý nằm ngoài chương trình toán đại trà để chứng minh.

 

Cuối cùng, việc đánh giá một bài toán thiết nghĩ một phần cũng còn do kinh nghiệm cá nhân nữa. Do vậy, nếu anh thvn cho rằng phiên phiến thế nào cũng được thì chúng ta nên theo quyết định của quản trị viên perfectstrong chuyển bài toán trên về chuyên mục THCS ạ! 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 13-05-2023 - 05:33

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#9
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Các nhà Toán học thường suy nghĩ cẩn trọng "câu từ" quá thành thử đưa vấn đề đi hơi xa  :D  :D  :D

Thực sự là rất lâu rồi tôi mới quay trở lại sinh hoạt trong một diễn đàn nhưng vẫn cảm giác được sự thân thuộc, gần gũi và mang tính chia sẻ của anh chị em cùng sở thích.

Về các vấn đề trên thì đơn giản là thế này:

1. Khẳng định: Bài toán đúng là của THCS, tương đối dễ và việc admin chuyển về đúng chuyên mục là hợp lý.

2. Bài toán có thể giải bằng kiến thức THPT là một gợi ý cho các bạn HS có thể tham khảo chứ không phải vì vậy mà bắt buộc nó phải được chuyển lên THPT(cái này chắc các amin hiểu nhầm ý tôi)

Trong các bài post của tôi, nếu chưa hợp lý thì cảm phiền các admin góp ý hoặc chuyển đúng vị trí cần thiết(tôi không ý kiến). Việc chuyển đi đâu, phân loại thế nào là để phục vụ cho mục đích tìm kiếm, học tập, trao đổi được dễ dàng theo nội qui diễn đàn...quan trọng nhất là làm sao đưa Toán học đến gần hơn với thực tiễn, với cộng đồng!

 

Chúc cả nhà cuối tuần vui vẻ!!! :wub:


N.K.S - Learning from learners!


#10
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

VMF nói chung và bản thân mình nói riêng không cấm việc sử dụng các kiến thức khác nhau, thuộc các cấp khác nhau để giải một bài toán. Trái lại, chúng ta càng nên khuyến khích tìm tòi nhiều phương pháp khác.

Tuy nhiên, lời giải trực quan "nhất" theo cá nhân mình cho bài toán này lại là THCS, thì chúng ta nên đăng ở THCS. Còn nếu bạn thvn muốn gợi ý sử dụng kiến thức khác thì nên ghi rõ hơn là "sử dụng công thức đường trung tuyến" hoặc "dùng các công cụ không phải THCS".


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#11
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Anh thấy là Hân @perfectstrong đã hơi quá nhạy cảm. Bạn @thvn từ trên xuống dưới không hề phản đối việc chuyển bài, trong khi Hân vẫn cứ đặt trọng tâm vào vấn đề đó một cách không cần thiết. Anh em trở lại chuyên môn nhé.

 

Cảm ơn @HaiDangPham và @thvn đã tham gia diễn đàn và có nhiều thảo luận chất lượng!


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#12
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
Mình bổ sung thêm các ý còn lại của bài toán để các em HS tham khảo:
 
Bài toán:[Đề thi OLYMPIC toán lớp 7 quận Hoàng Mai - Hà nội, năm học 2017-2018]
Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) có 3 góc nhọn, đường trung tuyến $AM$. Gọi $O$ là giao điểm 3 đường trung trực, $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Trên tia đối của toa $AO$ lấy điểm $D$ sao cho $DO = AO$.
1. Chứng minh tam giác $AMC$ tù, từ đó suy ra $2AC > BC$
2. Chứng minh tam giác $ACD$ vuông
3. Chứng minh 3 điểm $H, M, D$ thẳng hàng.
lzFym.jpeg
Lời giải:
1. Đối với học sinh THPT có lẽ đây là bài tập không khó, thật vậy:
Đặt $AB = c; BC = a; CA = b$ ta có ngay $c < b$.
Sử dụng định lý làm số cosin đối với tam giác $AMC$: $\cos\angle AMC = \frac{AM^{2}+MC^{2}-AC^{2}}{2.AM.MC}$ (1)
Do $AM$ là đường trung tuyến nên $AM^{2}$ = $\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}$
Thay vào (1), biến đổi và rút gọn ta thu được:
cos$\angle AMC =  \frac{c^{2}-b^{2}}{4AM.MC} < 0$.
Suy ra $\angle AMC > 90^{0}$, đồng nghĩa với tam giác $AMC$ tù.
 
Đối với các bạn lớp 7, cần phải vẽ thêm hình cũng như sử dụng thành thạo kiến thức tam giác bằng nhau cơ bản, cụ thể như sau:
Theo giả thiết ta đã có $\angle ABM > \angle ACM$ (*)
Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $A'$ sao cho $MA = MA'$.
Xét 2 tam giác $MAB$ và $MA'C$ có $MB = MC; MA = MA'$ và $\angle AMC  = \angle A'MB$ 
suy ra $\Delta MAB = \Delta MA'C(c.g.c) \Rightarrow AC = BA'$.
$\Rightarrow AB < BA' \Rightarrow \angle BAA' > \angle BA'A$ hay $\angle BAM > \angle MAC$ (**)
Mặt khác $\angle AMB = 180^o - \angle ABM - \angle BAM$, $\angle AMC = 180^o - \angle ACM - \angle MAC$. 
Kết hợp với (*) và (**) $\Rightarrow \angle AMB < \angle AMC$
mà  $\angle AMB + \angle AMC = 180^o$, suy ra $\angle AMC >90^{o}$. 
Nghĩa là tam giác $AMC$ tù. Khi đó $\angle AMC$ cũng là góc lớn nhất $\Rightarrow AC > MC = \frac{BC}{2}$, hay $2AC > BC$. Bài toán được chứng minh!
 
2. Vì $O$ là trung điểm của $AD$ nên $OA = OD$. Mặt khác $O$ nằm trên đường trung trực của $AC$ nên $OA = OC$. Từ đó $OC = OA = OB \Rightarrow OC = \frac{AD}{2}\Rightarrow\Delta ACD$ vuông tại $C$.
 
3. Từ kết quả chứng minh của phần 2. ta được $DC \bot AC$, do $H$ là trực tâm nên $BH \bot AC$
Suy ra $BH \parallel DC$.
Bằng cách tương tự ta cũng chỉ ra được $CH\parallel BD$. Gọi giao điểm của $BC$ và $HD$ là $M'$. Khi đó 2 tam giác $\Delta CHD = \Delta BDH(g.c.g) \Rightarrow CH = BD$.
Xét 2 tam giác $HM'C$ và $DM'B$ có:
$CH = BD; \angle M'HC = \angle M'DB$ và $\angle M'CH = \angle M'BD$(so le trong)
 $\Rightarrow \Delta HM'C = \Delta DM'B$, suy ra $M'B = M'C$ hay $M' \equiv M$, đồng nghĩa với  3 điểm $H, M, D$ thẳng hàng. 
Đến đây bài toán được chứng minh hoàn toàn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 14-05-2023 - 15:38
LaTeX: Nên gộp công thức lại cho dễ đọc

N.K.S - Learning from learners!


#13
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

 

Mình bổ sung thêm các ý còn lại của bài toán để các em HS tham khảo:
 
Bài toán:[Đề thi OLYMPIC toán lớp 7 quận Hoàng Mai - Hà nội, năm học 2017-2018]
Cho tam giác ABC(AB < AC) có 3 góc nhọn, đường trung tuyến AM. Gọi O là giao điểm 3 đường trung trực, H là trực tâm của tam giác ABC. Trên tia đối của toa AO lấy điểm D sao cho DO = AO.
1. Chứng minh tam giác AMC tù, từ đó suy ra 2AC > BC
2. Chứng minh tam giác ACD vuông
3. Chứng minh 3 điểm H, M, D thẳng hàng.
 

 

Hai mệnh đề ở câu 1 có thể được chứng minh độc lập với nhau ạ. 

 

Câu 1. 

 

a) Theo bất đẳng thức tam giác ta có $BC<AB+AC<AC+AC=2AC$. 

Góc tù.jpg

b) Gọi $AK$ là đường cao của tam giác $ABC$. Khi đó do $AB<AC$ nên theo quan hệ đường xiên hình chiếu thì $KB<KC$.  Do đó trung điểm $M$ của $BC$ phải nằm giữa $K$ và $C$. Suy ra $\angle AMC=\angle AKM+ \angle KAM$. Mà $\angle AKM=90^{\circ}$ nên ta có $\angle AMC$ là góc tù. 

 

Câu 3 có một hướng tiếp cận khác mà không cần dùng thêm điểm phụ $M'$ ạ. 

 

Câu 3. 

 

Vì $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $BH\perp AC$. Mà theo câu 2 ta có $CD \perp AC$ nên $BH \parallel CD$. 

Chứng minh tương tự ta có $CH \parallel BD$. 

Xét tam giác $BHC$ và tam giác $CDB$ có $BC$ chung, $\angle HBC=\angle DCB$ (vì $BH \parallel CD$) và $\angle HCB=\angle DBC$ (vì $CH \parallel BD$). Do đó hai tam giác bằng nhau (g.c.g). Suy ra $BH=CD$. 

Tiếp theo, xét tam giác $BHM$ và tam giác $CDM$ có $BH=CD$, $\angle HBM=\angle DCM$ và $MB=MC$ ($M$ là trung điểm $BC$). Do đó hai tam giác bằng nhau (c.g.c). Suy ra $\angle BMH=\angle CMD$.

Cuối cùng, do $\angle BMH+\angle CMH=180^{\circ}$ nên ta có ngay $\angle DMH=\angle CMD+\angle CMH=180^{\circ}$. 

Vậy ba điểm $H, M, D$ thẳng hàng. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 14-05-2023 - 14:40

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#14
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Hai mệnh đề ở câu 1 có thể được chứng minh độc lập với nhau ạ. 

 

Câu 1. 

 

a) Theo bất đẳng thức tam giác ta có $BC<AB+AC<AC+AC=2AC$. 

attachicon.gif Góc tù.jpg

b) Gọi $AK$ là đường cao của tam giác $ABC$. Khi đó do $AB<AC$ nên theo quan hệ đường xiên hình chiếu thì $KB<KC$.  Do đó trung điểm $M$ của $BC$ phải nằm giữa $K$ và $C$. Suy ra $\angle AMC=\angle AKM+ \angle KAM$. Mà $\angle AKM=90^{\circ}$ nên ta có $\angle AMC$ là góc tù. 

 

Câu 3 có một hướng tiếp cận khác mà không cần dùng thêm điểm phụ $M'$ ạ. 

 

Câu 3. 

 

Vì $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $BH\perp AC$. Mà theo câu 2 ta có $CD \perp AC$ nên $BH \parallel CD$. 

Chứng minh tương tự ta có $CH \parallel BD$. 

Xét tam giác $BHC$ và tam giác $CDB$ có $BC$ chung, $\angle HBC=\angle DCB$ (vì $BH \parallel CD$) và $\angle HCB=\angle DBC$ (vì $CH \parallel BD$). Do đó hai tam giác bằng nhau (g.c.g). Suy ra $BH=CD$. 

Tiếp theo, xét tam giác $BHM$ và tam giác $CDM$ có $BH=CD$, $\angle HBM=\angle DCM$ và $MB=MC$ ($M$ là trung điểm $BC$). Do đó hai tam giác bằng nhau (c.g.c). Suy ra $\angle BMH=\angle CMD$.

Cuối cùng, do $\angle BMH+\angle CMH=180^{\circ}$ nên ta có ngay $\angle DMH=\angle CMD+\angle CMH=180^{\circ}$. 

Vậy ba điểm $H, M, D$ thẳng hàng. 

 

Cảm ơn bạn đã cho những cách tiếp cận khác nhau với bài toán trên.

Đó chính là tư tưởng mà chúng ta cần truyền đạt cũng như khuyến khích các em HS-SV nên làm, không tự mãn với những kết quả đã đạt được. Suy nghĩ một vấn đề theo nhiều hướng khác nhau.

Cũng chia sẻ với các em HS-SV thế này:

Tôi đã dự SEMINAR tại Đại học QG Hà Nội 04/05/2023 và nghe báo cáo khoa học của GS. TSKH Nguyễn Đình Đức - TS Phan Hải Đăng về PHƯƠNG PHÁP TƯƠNG HỖ TÌM NGHIỆM ĐÓNG CỦA BÀI TOÁN TRUYỀN SÓNG. Cái hay là với cùng một bài toán, trên thế giới đã có cách làm rồi nhưng các nhà nghiên cứu của ta đi theo hướng hoàn toàn khác và cũng chính từ hướng đi đó họ đã giải quyết được bài toán liên quan một cách trọn vẹn mà với phương pháp cũ không làm được và kết quả nghiên cứu đã gây tiếng vang trên toàn thế giới.

Các bạn thấy người Việt mình vĩ đại không?

Rất đáng tự hào!!!


N.K.S - Learning from learners!





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh