Lời giải dùng đường tròn đây ạ.
CÁCH 3.
Đặt $\angle CAD=\alpha$ khi đó ta có $\angle ACB=2\alpha$ và $\angle ABC=4\alpha$.
Dựng đường đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ cắt đoạn thẳng $AC$ tại $E$.
Do tứ giác ABDE nội tiếp nên $\angle DEC=\angle DBA=4 \alpha$. Mà $DEC$ là góc ngoài của tam giác $AED$ nên ta có ngay $\angle ADE=3\alpha$.
Như vậy tia $DA$ là tia phân giác ngoài tại đỉnh $D$ của tam giác $DEC$.
Do đó $\frac{CD}{AC}=\frac{DE}{AE}$. $(1)$
Bây giờ, chú ý rằng tứ giác $ABDE$ nội tiếp và $DA$ là tia phân giác của $EDB$ nên ta có $AB=AE$.
Suy ra $\frac{CD}{AB}=\frac{CD}{AE}$. $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra điều phải chứng minh tương đương với
$CD+DE=AE$.
Để chứng minh đẳng thức trên đúng ta vẽ đường tròn tâm $E$ bán kính $DE$ cắt đoạn $AC$ tại $F$ nằm giữa $A$ và $E$.
Do $\angle DEC=4\alpha$ và tam giác $FED$ cân tại $E$ nên ta có ngay $\angle EFD=2\alpha$.
Tiếp theo, ta thấy $\angle FAD=\alpha$ và $EFD$ lại là góc ngoài của tam giác $FAD$ nên ta có tam giác giác $FAD$ cân tại F.
Mặt khác, cũng vì $\angle EFD=2 \alpha$ nên ta có tam giác $FDC$ cân tại $D$.
Như vậy, cuối cùng ta có $DE=EF$ (tam giác $EFD$ cân tại $E$) và $AF=DF=CD$ (tam giác $FAD$ cân tại $F$ và tam giác $FDC$ cân tại $D$).
Do đó $AE=AF+EF=CD+DE$.
Bài toán được chứng minh xong.
_______
Bài này vẫn còn một cách nữa đó ạ, nhưng nó khá đặc biệt nên khó nhìn ra.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 16-05-2023 - 21:56