Lời giải
Kẻ OI, OK vuông góc AB, CD $\Rightarrow$ I,K là trung điểm AB,CD
CM đc: OIPK là hình chữ nhật
$\Rightarrow$ IK=OP ko đổi
Có:
$AB.CD\leq \frac{AB^{2}+CD^{2}}{2}=\frac{4(AI^{2}+CK^{2})}{2}=2(OA^{2}-OI^{2}+OC^{2}-OK^{2})=2(2R^{2}-IK^{2})=2(2R^{2}-OP^{2})$ ko đổi
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow AB=CD$
Khi đó $\Delta AOB=\Delta DOC(c.c.c)$
$\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{ODC}$
$\Rightarrow$ ADOP là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{AOP}=\widehat{ADP}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}=\widehat{AOE}$ (vì $\Delta AOC$ cân tại O có OE là đường cao)
Mà $\widehat{AOE}+\widehat{OAE}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{AOP}+\widehat{OAE}=90^{\circ}$
$\Rightarrow$ OP vuông góc AC
Mà OE vuông góc AC
$\Rightarrow$ O,P,E thẳng hàng. (ĐPCM)