Chủ đề này có 3 trả lời

[E. Galois]

[Nobodyv2]

Em xin phát pháo tạo đà nhé, em gà lắm nên chọn phần cuối của câu cuối.:
Để câu 4:
b/ Cho số nguyên dương n. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3, có n chữ số và các chữ số đều thuộc tập $A=\left \{ 3,4,5,6,9 \right \}.$?
Giải:
Ta có hàm sinh cho số cách tạo các số thỏa yc là : $f(x)=\left ( x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{9} \right )^{n}$. Thế $ x^{k}=x^{k\pmod 3}$ thì:
$f(x)=\left ( x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{9} \right )^{n} =\left (3+x+x^{2} \right )^{n} $.
Gọi $\omega$ là một nghiệm của phương trình $ x^{3}=1$ thì theo tính chất căn bậc 3 của đơn vị ta có $1+\omega +\omega^{2}=0$ và gọi $N$ là số các số thỏa yc đề bài thì:
$N=\frac{f(1)+f(\omega)+f(\omega ^{2})}{3}$
mà $f(1)=5^{n}; f(\omega )=2^{n}; f(\omega^{2} )=2^{n}$
Do đó:
$N=\frac{5^{n}+2.2^{n}}{3}=\boxed { \frac{5^{n}+2^{n+1}}{3}}$

Ta cũng có thể tính bằng phương pháp truy hồi để check kết quả trên:
Gọi $ X_{n} , Y_{n}$ tương ứng là tập tất cả các số có n chữ số lần lượt chia hết cho 3 và không chia hết cho 3 được lập từ tập $A$. Bài toán yêu cầu tính $\left | X_{n} \right |$.
- Xét 1 số thuộc $ X_{n}$ thì có 3 cách thêm vào cuối 1 chữ số (3, 6, hoặc 9) để được 1 số thuộc $ X_{n+1}$, có 2 cách thêm vào cuối 1 chữ số (4 hoặc 5) để được 1 số thuộc $ Y_{n+1}$.
- Xét 1 số thuộc $ Y_{n}$ thì có 1 cách thêm vào cuối 1 chữ số (4 hoặc 5) để được 1 số thuộc $ X_{n+1}$, có 4 cách thêm vào cuối 1 chữ số (3, 6, 9, 4 hoặc 5) để được 1 số thuộc $ Y_{n+1} $.
Suy ra: $\left\{\begin{matrix} \left | X_{n+1} \right | &=3\left | X_{n} \right | &+\left | Y_{n} \right | \\ \left | Y_{n+1} \right |&=2\left | X_{n} \right | &+4\left | Y_{n} \right | \end{matrix}\right.\Longrightarrow\left | Y_{n+1} \right |=2\left | X_{n} \right |+4(\left | X_{n+1} \right |-3\left | X_{n} \right |)=4\left | X_{n+1} \right |-10\left | X_{n} \right |$
$\Longrightarrow\left | X_{n+1} \right |=7\left | X_{n} \right |-10\left | X_{n-1} \right |\Longrightarrow\left | X_{n} \right |=7\left | X_{n-1} \right |-10\left | X_{n-2} \right |, \forall n\geq 2.$
Xét dãy số $\left ( u_{n} \right ): u_{n}=\left | X_{n} \right |$ được biểu diễn như sau $u_{1}=3,u_{2}=11, u_{n}=7 u_{n-1}-10u_{n-2}, \forall n\geq 2.$
Phương trình đặc trưng: $x^{2}-7x+10=0\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix} x &=5 \\ x &=2 \end{matrix}\right. \Longrightarrow$ Dạng tổng quát: $u_{n}=A.5^{n}+B.2^{n}\Longrightarrow\left\{\begin{matrix} u_{1} &=A.5^{1}+B.2^{1} &=3 \\ u_{2} &=A.5^{2}+B.2^{2} &=11 \end{matrix}\right. \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} A &=\frac{1}{3} \\ B & =\frac{2}{3} \end{matrix}\right.\Longrightarrow u_{n}=\frac{1}{3}.5^{n}+\frac{2}{3}.2^{n}=\boxed{\frac{5^{n}+2^{n+1}}{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv2: 10-10-2020 - 10:34

[Mr handsome ugly]

em xin làm câu 4a: ta có $q\mid \frac{a^{p}-1}{a-1}\Leftrightarrow q\mid a^{p}-1$  mà theo định lý fermat nhỏ thì $q\mid a^{q-1}-1$( a không thể chia hết cho q vì nếu ngược lại thì a^{p}-1 không thể chia hết cho q), sử dụng bổ đề với t là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn $q\mid a^{t}-1$ thì những số n>t thỏa $q\mid a^{n}-1$ thì $t\mid n$

vậy ta có : p là số nhỏ nhất thỏa $q\mid a^{p}-1$( ta loại trường hợp $q\mid a-1$ vì a-1<q), sử dụng bổ đề trên ta có $p\mid q-1$

[Le Sy The Anh]

Câu 1:

b, Ta có: $A=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\frac{1}{\sqrt{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt{y+3x}})\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x+y}+\sqrt{2y}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y+x}+\sqrt{2x}})$

Lại có : $(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x+y}+\sqrt{2y}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y+x}+\sqrt{2x}})=\frac{2(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{2x+2y}+\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2+\sqrt{x+y}(\sqrt{2x}+\sqrt{2y})}=2$

=> đpcm.

Dấu "=" xảy ra <=> a=b