Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm min max của $S = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ biết $0 ≤ x, y, z ≤ 1: x + y + z = \frac{3}{2}$ .


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
Bài toán: [Đề thi Olympic lớp 8 quận Hoàng Mai – Hà Nội 2020 – 2021]
Cho các số thực $0 \leq x, y, z  \leq 1$ thỏa mãn $x + y + z = \frac{3}{2}$. 
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức  $S = x^{2} + y^{2} + z^{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-05-2023 - 16:02
Tiêu đề

N.K.S - Learning from learners!


#2
truongphat266

truongphat266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

 

Bài toán: [Đề thi Olympic lớp 8 quận Hoàng Mai – Hà Nội 2020 – 2021]
Cho các số thực $0 \leq x, y, z  \leq 1$ thỏa mãn $x + y + z = \frac{3}{2}$. 
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức S =  $x^{2} + y^{2} + z^{2}$.

 

Có: $x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{3}{4}$

Có: $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\leq (x+y+z)^2=\frac{9}{4}$

Vậy: $MinS=\frac{3}{4}$. Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=\frac{1}{2}$

$MaxS=\frac{9}{4}$. Dấu bằng xảy ra khi: $(x;y;z)=(\frac{3}{2};0;0)$ và các hoán vị



#3
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Có: $x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{3}{4}$

Có: $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\leq (x+y+z)^2=\frac{9}{4}$

Vậy: $MinS=\frac{3}{4}$. Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=\frac{1}{2}$

$MaxS=\frac{9}{4}$. Dấu bằng xảy ra khi: $(x;y;z)=(\frac{3}{2};0;0)$ và các hoán vị

 

Cảm ơn bạn, mình có nhận xét thế này:

+ phần GTNN kết quả đúng!

+ phần GTLN thì chưa chính xác vì 3/2 > 1  :lol:


N.K.S - Learning from learners!


#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Em xin thử sức phần GTLN bằng phương pháp tam thức bậc 2 (không biết lớp 8 được dùng chưa nhỉ?)

\[S = {x^2} + {y^2} + {\left( {\frac{3}{2} - x - y} \right)^2} = 2{x^2} + 2{y^2} - 3x - 3y + 2xy + \frac{9}{4}\]

Ta viết $S$ thành hàm số theo $x$:

\[S = f\left( x \right) = 2{x^2} - \left( {3 + 2y} \right)x + 2{y^2} - 3y + \frac{9}{4}\]

Rồi tính biệt thức \[{\Delta _x} =  - 12{y^2} + 12y - 9 =  - 3{\left( {2y - 1} \right)^2} - 6 < 0\]

Lại chú ý rằng hệ số bậc cao nhất của $x$ là số dương nên \[f\left( x \right) \leqslant \max \left\{ {f\left( 0 \right);f\left( 1 \right)} \right\}\]

TH1: $x=0$. Ta có $S = 2{y^2} - 3y + \frac{9}{4}$. Coi đây là một tam thức bậc 2 $g_1(y)$.

Ta không được quên kiểm tra lại miền xác định của $y$: \[\left. \begin{gathered}
  z = \frac{3}{2} - y \leqslant 1 \Rightarrow y \geqslant \frac{1}{2} \hfill \\
  z \geqslant 0 \Rightarrow y \leqslant \frac{3}{2} \hfill \\
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow y \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\]

Tương tự như trên, $g_1\left( y \right) \leqslant \max \left\{ {g_1\left( {\frac{1}{2}} \right);g_1\left( 1 \right)} \right\} = \frac{5}{4}$

TH2: $x=1$. Ta có $S = 2{y^2} - y + \frac{5}{4} = {g_2}\left( y \right)$.

Tương tự, ta kiểm tra lại miền của $y$:

\[\left. \begin{gathered}
  z = \frac{3}{2} - 1 - y \leqslant 1 \Rightarrow y \geqslant 0 \hfill \\
  z \geqslant 0 \Rightarrow y \leqslant \frac{1}{2} \hfill \\
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow y \in \left[ {0;\frac{1}{2}} \right]\]

Do đó: \[{g_2}\left( y \right) \leqslant \max \left\{ {{g_2}\left( 0 \right);{g_2}\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right\} = \frac{5}{4}\]

Kết luận: $\max S = \frac{5}{4}$ với dấu = xảy ra khi $\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;\frac{1}{2};1} \right)$ và các bộ hoán vị.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-05-2023 - 17:08

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
duy030408

duy030408

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết

Em xin thử sức với cách giải của em ( Không biết có đúng không ạ)

Ta có $0\leq x,y,z\leq 1$

$\Rightarrow 0\leq 2x,2y,2z\leq 2$

Ta có:$2x+2y+2z=3$ và $4S=(2x)^2+(2y)^2+(2z)^2$

Đặt:$2x=a,2y=b,2z=c$

Khi đó ta có: $0\leq a,b,c\leq 2; \, a+b+c=3; \, 4S=a^2+b^2+c^2$

$4S=a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2-(2ab+2ac+2bc)=9-(2ab+2ac+2bc)$

Ta có $a\geq 0\Rightarrow ab\geq 0\Rightarrow -ab\leq 0$

$\Rightarrow 4S\leq 9-2c(a+b)=9-2c(3-c)=2c^2-6c+9$

Ta có : $2c^2-6c+9\leq 5 \Leftrightarrow 2(c^2-3c+2)\leq 0\Leftrightarrow (c-1)(c-2)\leq 0$

Không mất tính tổng quát giả sử $c$ là số lớn nhất trong 3 số $a,b,c$

$\Rightarrow c\geq b; \, c\geq a \Rightarrow 3c\geq a+b+c=3\Leftrightarrow c\geq 1$

Mà $c-2\leq 0;\, c-1\geq 0\Rightarrow (c-1)(c-2)\leq 0$

$\Rightarrow 4S\leq 5 \Rightarrow \max S =\frac{5}{4}$ khi $a=0,b=1,c=2$ hay $x=0,y=\frac{1}{2},z=1$ và các hoán vị


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 17-05-2023 - 14:05
LaTeX





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh