Chủ đề này có 1 trả lời

[kograysus]

Cho $\Delta{ABC}$ ngoại tiếp $(I)$, $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ cắt $EF$ tại $T$, gọi $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $AT$. Chứng minh $NM$ tiếp xúc với $(I)$

[Hoang72]

Kẻ đường kính $DD'$ của $(I)$. Cho $AD'$ cắt lại $(I)$ tại $H$.

Theo kết quả quen thuộc, ta có $IM \parallel AD'\Rightarrow IM \parallel D'H$

$\Rightarrow IM \perp DH$.

Mà $MD$ là tiếp tuyến của $(I)$ nên $MH$ cũng là tiếp tuyến của $(I)$

Lấy $J$ là trung điểm của $EF$.

Ta có $AD'.AH = AE^2= AJ.AI\Rightarrow$ Tứ giác $IJD'H$ nội tiếp

$\Rightarrow \angle AHJ = \angle AID' = \angle ATJ$ (có các cạnh tương ứng vuông góc)

$\Rightarrow$ Tứ giác $ATHJ$ nội tiếp

$\Rightarrow \angle AHT = \angle AJT = 90^\circ\Rightarrow D,H,T$ thẳng hàng.

Gọi $\left\{N'\right\}  = MH \cap AT$. Ta có $\angle N'HD' = \angle HDD' = 90^\circ - \angle ATH = \angle HAT$

$\Rightarrow \Delta N'HA$ cân tại $N'$.

Kết hợp với điều kiện tam giác $AHT$ vuông tại $H$, ta có $N'$ là trung điểm AT$

$\Rightarrow N'\equiv N\Rightarrow MN$ tiếp xúc với $(I)$ tại $H$.

 

Hình gửi kèm

•