Đến nội dung

Hình ảnh

Xác suất 3 quyển sách thuộc cùng 1 môn không được xếp liền nhau ?

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán giống nhau, 3 quyển Lý giống nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và 3 quyển Sinh giống nhau. Xác suất 3 quyển sách thuộc cùng 1 môn không được xếp liền nhau ?


Dư :unsure: Hấu   


#2
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Đề bài :"...Xác suất để không có 2 quyển sách nào thuộc cùng 1 môn được xếp liền nhau ?"
Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất.
Áp dụng nguyên lý bù trừ, ta xây dựng được hàm sinh cho các cách xếp :
$$\begin{align*} f(x)&=\left(\frac{x^3}{3!}-\binom{2}{1}\frac {x^2}{2!}+\binom{2}{2}\frac {x^1}{1!}\right)^4\\
&=\frac{1}{1296}x^{12}-\frac{1}{54}x^{11}+\frac{5}{27}x^{10}-x^9\\
&+\frac{19}{6}x^8-6x^7+\frac{20}{3}x^6-4x^5+x^4
\end{align*}$$Thế các $x^k$ bằng $k!$ ta có số các cách xếp sách thỏa yêu cầu :
$$\begin{align*}
\Rightarrow &\;\frac{12!}{1296}-\frac{11!}{54}+\frac{5\cdot 10!}{27}-9!\\
&+\frac{19\cdot 8!}{6}-6\cdot7!+\frac{20\cdot 6!}{3}-4\cdot 5!+4!\\
=&\;369600-739200+672000-362880\\
&+127680-30240+4800-480+24\\
=&\;41304
\end{align*}$$XS cần tìm :
$$P(A)=\frac { 41304 }{\frac {12!}{(3!)^4}}= \boldsymbol {\frac {1721}{15400}} $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 25-05-2023 - 12:41

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán giống nhau, 3 quyển Lý giống nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và 3 quyển Sinh giống nhau. Xác suất 3 quyển sách thuộc cùng 1 môn không được xếp liền nhau ?

Đề bài cần phải rõ ràng !

Cần phải sửa lại là :

"Xác suất để BẤT KỲ 3 quyển sách nào thuộc cùng 1 môn đều không xếp liền nhau"

hoặc là

"Xác suất để KHÔNG CÓ 3 quyển sách nào thuộc cùng 1 môn được xếp liền nhau"
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-05-2023 - 08:31

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Đề bài :"...Xác suất để không có 2 quyển sách nào thuộc cùng 1 môn được xếp liền nhau ?"
Cách khác :
Bài toán đã cho tương đương với : Có bao nhiêu từ aaabbbcccddd sao cho không có 2 chữ cái giống nhau nào đứng liền kề nhau.
Ta có hàm sinh cho các cách viết các Smirnov words ( là các từ mà trong đó không có 2 chữ cái giống nhau nào đứng liền kề nhau ) :
$$f(a,b,c,d,x)=\left(1-\frac{ax}{1+ax} -\frac{bx}{1+bx}-\frac{cx}{1+cx} -\frac{dx}{1+dx} \right) ^{-1}$$Với sự trợ giúp của WA, ta tính được số các từ Smirnov cũng là số cách xếp sách thỏa đề bài :
$$\begin {align*}
[a^3b^3c^3d^3x^{12}]f(a,b,c,d,x)&= [a^3b^3c^3d^3x^{12}]\left(1-\frac{ax}{1+ax} -\frac{bx}{1+bx}-\frac{cx}{1+cx} -\frac{dx}{1+dx} \right) ^{-1}\\
&=\boldsymbol {41304}
\end {align*}$$
Ngoài ra, ta cũng có thể giải bằng cách sử dụng đa thức Laguerre ( các bạn tham khảo các bài viết của anh @chanhquocnghiem nhé ).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 25-05-2023 - 12:42

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#5
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán giống nhau, 3 quyển Lý giống nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và 3 quyển Sinh giống nhau. Xác suất 3 quyển sách thuộc cùng 1 môn không được xếp liền nhau ?

(Cách giải không dùng hàm sinh)

    Số cách sắp xếp ngẫu nhiên $12$ quyển sách đã cho là $M=\frac{12!}{(3!)^4}=\frac{12!}{6^4}$.

    Gọi $M_k$ là số cách sắp xếp sao cho có ít nhất $k$ loại sách chiếm $3$ vị trí liên tiếp. Ta tính $M_k$ theo cách sau :

    - Chọn $k$ loại sách trong số $4$ loại sách : $C_4^k$ cách.

    - Với mỗi loại sách (trong $k$ loại đã chọn), ta ghép cả $3$ quyển giống nhau, xem như $1$ quyển đặc biệt. Như vậy, từ $12$ quyển ban đầu, nay chỉ còn $12-2k$ quyển

    - Sắp xếp ngẫu nhiên $12-2k$ quyển đó : Có $\frac{(12-2k)!}{(3!)^{4-k}}=\frac{6^k(12-2k)!}{6^4}$ cách

    $\Rightarrow M_k=C_4^k\ \frac{6^k(12-2k)!}{6^4}$

    Và số cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện đề bài là

    $M-M_1+M_2-M_3+M_4=\frac{12!}{6^4}+\sum_{k=1}^{4}C_4^k\frac{(-1)^k6^k(12-2k)!}{6^4}$

   $=\frac{1}{6^4}\sum_{k=0}^{4}C_4^k(-6)^k(12-2k)!=308664$.

    Xác suất cần tính là $P=\frac{308664}{\frac{12!}{6^4}}=\frac{38583}{46200}\approx 0,835130$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-05-2023 - 09:08

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán giống nhau, 3 quyển Lý giống nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và 3 quyển Sinh giống nhau. Xác suất để không có 3 quyển sách nào thuộc cùng 1 môn được xếp liền nhau ?

(Giải bằng đa thức Laguerre)

Bài toán tương đương với "Xác suất xếp $3$ chữ $a$, $3$ chữ $b$, $3$ chữ $c$, $3$ chữ $d$ thành một hàng sao cho không có $3$ chữ liên tiếp giống nhau ?"

Các cách xếp "hợp lệ" khi không chứa các xâu $\left \{ aaa,bbb,ccc,ddd \right \}$.

$m_1=m_2=m_3=m_4=3$ (không chứa $3$ chữ giống nhau liên tiếp)

$n_1=n_2=n_3=n_4=3$ (mỗi chữ cái xuất hiện đúng $3$ lần)

Đa thức Laguerre cho mỗi chữ cái chính là hệ số của $x^n$ trong khai triển của $\exp\left ( \frac{t(x-x^m)}{1-x^m} \right )=e^{t(x-x^m)/(1-x^m)}$

Trong bài này, đa thức Laguerre cho mỗi chữ cái là :

$\left [ x^3 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^3)}{1-x^3} \right )=\frac{t^3}{6}-t$

Số cách xếp "hợp lệ" là $\int_{0}^{\infty}e^{-t}\left ( \frac{t^3}{6}-t \right )^4dt=308664$.

Xác suất cần tính là $P=\frac{308664}{\frac{12!}{6^4}}=\frac{38583}{46200}\approx 0,835130$.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán giống nhau, 3 quyển Lý giống nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và 3 quyển Sinh giống nhau. Xác suất 3 quyển sách thuộc cùng 1 môn không được xếp liền nhau ?

Áp dụng nguyên lý bù trừ, ta lập được hàm sinh :
$$ \left(\frac {x^3}{3!}- x\right)^4= \frac {1}{1296}x^{12}- \frac {1}{54}x^{10} + \frac {1}{6}x^8 - \frac {2}{3}x^6+x^4$$ Thế các $x^k$ bằng các $k!$ ta có số các cách xếp thỏa yêu cầu :
$$\begin {align*}
&\frac {1}{1296}12! - \frac {1}{54}10!
+ \frac {1}{6}8! - \frac {2}{3}6! + 4!\\
&=369600-67200+6720-480+24\\
&=\boldsymbol {308664}
\end{align*}$$
Cách khác : Không dùng hàm sinh mà sử dụng trực tiếp nguyên lý bù trừ, ta có số cách xếp thỏa đề bài :$$\begin {align*}
&\binom{12}{3,3,3,3}-4\binom{10}{1,3,3,3}+6\binom{8}{1,1,3,3}\\
&-4\binom{6}{1,1,1,3}+\binom{4}{1,1,1,1}\\
&=369600-4\cdot16800+6\cdot1120-4\cdot120+24\\
&=\boldsymbol {308664}
\end{align*}$$
@chanhquocnghiem Thank you so much .
Kết quả trùng khớp với kết quả của anh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 25-05-2023 - 12:50

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh