Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$ tiếp xúc với $BC, AC$ tại $D$ và $E$. $P$ và $Q$ là hai điểm trên $BC$ và $CA$ sao cho $CP=BD, CQ=AE$, $BQ$ và $AP$ cắt nhau tại $M$, đường tròn $(I)$ cắt $AP$ tại $N$ sao cho $N$ nằm giữa $A$ và $P$. Chứng minh $AN=PM$
P/s: Bài này em nghĩ đến với DN và ES là đường kính của (I) , bộ 3 điểm (S,Q,B), (A,N,P) thằng hàng rồi không biết làm tiếp nữa (
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Bao Khanh: 24-05-2023 - 17:41
Điểm $M$ từ đâu ra vậy bạn? Hơn nữa, $AP$ cắt $(I)$ tại ít nhất hai điểm, vậy thì $N$ là điểm nào? Và $Q$ có liên quan gì ở đây?
Có vẻ bạn ý muốn nói là $M, N$ là giao điểm của $AP$ và $(I)$?
Có một kết quả chắc là sẽ liên quan Nếu lấy $N$ sao cho $N$ nằm giữa $A,M$ thì khi đó $ND$ sẽ là đường kính của $(I)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 24-05-2023 - 04:08
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! $$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$ I'm still there everywhere.
Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$ tiếp xúc với $BC, AC$ tại $D$ và $E$. $P$ và $Q$ là hai điểm trên $BC$ và $CA$ sao cho $CP=BD, CQ=AE$, $BQ$ và $AP$ cắt nhau tại $M$, đường tròn $(I)$ cắt $AP$ tại $N$ sao cho $N$ nằm giữa $M$ và $P$. Chứng minh $AN=PM$
P/s: Bài này em nghĩ đến với DN và ES là đường kính của (I) , bộ 3 điểm (S,Q,B), (A,N,P) thằng hàng rồi không biết làm tiếp nữa (
Đề bạn vẫn sai. Điểm $N$ của bạn ($R$ trong hình mình) không thể thỏa $DN$ là đường kính.
Đo đạc ra thì $AN=PR < PM$.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! $$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$ I'm still there everywhere.
Từ \eqref{eq1},\eqref{eq2}, ta có $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{P'C}}{{P'B}} \Rightarrow \frac{{DB}}{{CB}} = \frac{{P'C}}{{BC}} \Rightarrow CP' = DB = CP$
Do đó $P \equiv P'$. Vậy nên $DN$ là đường kính của $(I)$.
Vì thế:
\begin{equation}\label{eq3}\frac{{AN}}{{AP}} = \frac{{d\left( {A,KH} \right)}}{{d\left( {A,BC} \right)}} = 1 - \frac{{DN}}{{d\left( {A,BC} \right)}} = 1 - \frac{{2\frac{{2{S_{ABC}}}}{{AB + BC + CA}}}}{{2\frac{{{S_{ABC}}}}{{BC}}}} = 1 - \frac{{2BC}}{{AB + BC + CA}} = \frac{{AB + AC - BC}}{{AB + BC + CA}}\end{equation}
Mặt khác, áp dụng định lý Menelaus cho $\Delta APC$ với cát tuyến $BMQ$:
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! $$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$ I'm still there everywhere.