Đến nội dung

Hình ảnh

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. $M$ là điểm nằm trên tiếp tuyến tại $A$...Chứng minh $CD$ đi qua trung điểm $MH$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Bài sau đây chỉ là ý cuối bài thi vào 10, không quá khó, nhưng cần sử dụng tới một bài toán (bổ đề) theo mình nghĩ là khá cơ bản và hay. 

 

Bài toán. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. $M$ là một điểm nằm trên tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn.  Từ $M$ kẻ tiếp tuyến $MC$ tới đường tròn ($C$ là tiếp điểm). Gọi $D$ là giao điểm thứ hai của $MB$ và đường tròn, $H$ là giao điểm $MO$ và $AC$.  Chứng minh $CD$ đi qua trung điểm của $MH$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 25-05-2023 - 10:30

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#2
kograysus

kograysus

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

E xin giải ạ

Hình gửi kèm

  • z4376645539007_3540f92dc8fad938e58fb3795924f9e8.jpg


#3
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Lời giải của kograysus chính xác ạ! 

 

Mình có một hướng tiếp cận khác. Không mấy khó khăn ta chứng minh được hai cặp tam giác đồng dạng sau: 

(1) Tam giác $MDH$ và tam giác $ADC$

(2) Tam giác $MDE$ và tam giác $ADH$. 

Từ đây ta suy ra $\frac{ME}{AH}=\frac{MH}{AC} \left( =\frac{MD}{AD} \right) $, hay $\frac{ME}{MH}=\frac{AH}{AC}$.

Vì $H$ là trung điểm của $AC$ nên từ đẳng thức trên ta suy ra $E$ là trung điểm của $MH$. 

 

Các bước suy luận trên đây có thể phát biểu lại thành một Bổ đề: 

 

Bổ đề
 Cho tam giác $ABC$ và tam giác $A'B'C'$ đồng dạng. Hai điểm $M$ và $M'$ tương ứng nằm trên hai cạnh $BC$ và $B'C'$. Khi đó $\frac{MB}{BC}=\frac{M'B'}{B'C'}$ khi và chỉ khi tam giác $MAB$ đồng dạng với tam giác $M'A'B'$.

 

Phát biểu thành một bổ đề, để nhấn mạnh rằng có không ít các bài toán mà mình từng làm đã vận dụng nó. Ban đầu mình cũng chẳng để ý tới sự tồn tại của nó nhưng sau do gặp cũng nhiều nên coi nó gần như một kiểu định lý về hai tam giác đồng dạng để vận dụng vậy! 

 

Chẳng hạn, gần đây nhất có bài toán sau (đây chính là Bổ đề 3 mình dùng để chứng minh Bài 12 trong topic 15 bài toán hình từ kỳ thi học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình): 

 

Bài toán 2. Cho tam giác $ABC$ có $H$ là trực tâm. Gọi $M$ là một điểm nằm trên cạnh $BC$. Lấy hai điểm $N, P$ sao cho $NM \perp AB$, và $NB \perp BC$; $PM \perp AC$ và $PC \perp BC$. Khi đó ba điểm $H, N, P$ thẳng hàng. 

Dang-DDTH-15baihinhhsgNB-Bai 12 (Bode 3)  2.jpg

 

Có thời gian mình sẽ tổng hợp thêm một số bài toán nữa.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 25-05-2023 - 21:48

"Hap$\pi$ness is only real when shared."




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh