Bổ đề 1: $a^{x}-1\not\equiv 0(modx)$ với (a-1;x)=1
giả sử $x\mid a^{x}-1$ , gọi p là ước nguyên tố nhỏ nhất của x $\Rightarrow p\mid a^{x}-1$
gọi t là số nhỏ nhất thỏa $p\mid a^{t}-1\Rightarrow t\mid x$, theo định lý fermat nhỏ lại có $p\mid a^{p-1}-1\Rightarrow t\mid p-1\Rightarrow p> t$ mà t là ước cua x nhưng p lại là ước nguyên tố nhỏ nhất của x nên t=1 mà (a-1;x)=1 nên $\Rightarrow$ đpcm
Từ đạy các bạn cũng có thể nói rằng nếu $x\mid a^{x}-1$ thì ta có điều kiện cần là $p\mid a^{x}-1$ với p là ước nguyên tố nhỏ nhất của x
Bổ đề 2:$a^{x}+1\not\equiv 0(modx)$ nếu $(a^{2}-1;x)=1$
giả sử $x\mid a^{x}+1\Rightarrow x\mid a^{2x}-1\Rightarrow x\mid (a^{2})^{x}-1$$\Rightarrow p\mid a^{2}-1$ với p là ước nguyên tố nhỏ nhất của x $\Rightarrow p\mid (a-1)(a+1)$, nếu $p\mid a+1$ thì a=-1(modp)$p\mid a^{x}+1$ khi và chỉ khi x lẻ
Nếu $p\mid a-1$, thì ta xét x lẻ và chẵn, nếu x lẻ thì $p\neq 2$$\Rightarrow p\mid a^{x}-1$ ( vô lí vì $p\mid a^{x}+1$. Nếu x chẵn thì a-1 và a+1 đều chẵn và đều chia hết cho p
VD: tìm x và p sao cho $x^{p-1}\mid (p-1)^{x}+1$ với p là 1 số nguyên tố, $x\leq 2p$
Ta có: $x\mid (p-1)^{x}+1$, ta thấy p và p-2 đều là số lẻ nên nếu muốn giả thuyết trên xảy ra thì x phải lẻ và đồng thời sử dụng bổ đề 2 thì ta có được p chia hết cho ước nguyên tố nhỏ nhất của x mà p là số nguyên tố nên ta có thể đặt x=np( n nguyên dương và là số lẻ)
$\Rightarrow (np)^{p-1}\mid (p-1)^{np}+1$ , tới đây các bạn sử dụng bổ đề LTE là ra vì thời gian có hạn minh không thể giải tiếp được nên mời bạn đọc
P/S: các bạn cũng có thể mở rộng với các trường hợp $k\mid x^{k}-y^{k}$ và $k\mid x^{k}+y^{k}$ chứng minh tương tự như trên, chỉ sử dụng bổ đề với t là số nhỏ nhất thỏa $p\mid x^{t}-y^{t}$ và m bất kì ( m>t) thỏa $p\mid x^{m}-y^{m}$ và p là số nguyên tố thì $t\mid m$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 14-10-2020 - 12:04
?
