Chủ đề này có 44 trả lời

[Tan Thuy Hoang]

sau đây là dự đoán của riêng mình thôi không biết có đúng không : chứng minh $[a^{m}-1;a^{n}-1]=a^{[m;n]}-1$ 

P/S: sai thì các bạn sửa giúp mình và góp  , mình nghĩ xài $(a^{m}-1;a^{n}-1)=a^{(m;n)}-1$ và $[a;b]=\frac{ab}{(ab)}$ nhưng chưa làm được

Phản ví dụ: [2⁴ - 1, 2⁵ - 1] = 15 . 31; còn 2^{[4, 5]} - 1 = 2²⁰ - 1 lớn hơn rất nhiều.

[Mr handsome ugly]

với t là số nhỏ nhất thỏa $p\mid a^{t}-1$ và p nguyên tố thì liệu có tìm được giá trị của a và p thỏa    $p^{n}\mid a^{t}-1$ và nếu có thì n có GTLN là bao nhiêu 

P/S: cái này mình thắc mắc riêng thôi chứ không phải lấy ở ngoài nên không biết giải được không 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 19-10-2020 - 14:03

[Tan Thuy Hoang]

Bổ đề số 10: Một số nguyên tố lẻ p có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương.

[Mr handsome ugly]

1. tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn $2^{2013}|1999^{n}-1$

2. tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất thỏa mãn $1991^{k}$ là ước của $1990^{1991^{1992}}+1992^{1991^{1990}}$

3. tìm bộ số nguyên $(a,b,p)$ sao cho $a,b$ là số nguyên dương, $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $2^{a}+p^{b}=19^{a}$

 

PS: 3 bài trên hình như xuất hiện trên diễn đàn rồi hay sao ý ạ :>

câu 1: dễ rồi xài LTE là ra

câu 2: ta có $V_{1991}((1990^{1991^{2}})^{1991^{1990}}+1992^{1991^{1990}} )=V_{1991}(1990^{1991^{2}}+1992)+V_{1991}(1991^{^{1990}})$

 Mà $1990^{1991^{2}}+1+1991$ không chia hết cho $1991^{2}$ nên số k lớn nhất là 1991

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 24-10-2020 - 09:49

[Mr handsome ugly]

1. tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn $2^{2013}|1999^{n}-1$

2. tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất thỏa mãn $1991^{k}$ là ước của $1990^{1991^{1992}}+1992^{1991^{1990}}$

3. tìm bộ số nguyên $(a,b,p)$ sao cho $a,b$ là số nguyên dương, $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $2^{a}+p^{b}=19^{a}$

 

PS: 3 bài trên hình như xuất hiện trên diễn đàn rồi hay sao ý ạ :>

câu 3 : do $17\mid 19^{a}-2^{a}\Rightarrow p=17$ 

$\Leftrightarrow 19^{a}-2^{a}=17^{b}$

xét a<2 : các bạn tự làm nha

xét $a\geq 2\Rightarrow 17^{a}=1(mod4)\Rightarrow 19^{a}=1(mod4)\Rightarrow a=2k$

$\Leftrightarrow (19^{k}+2^{k})(19^{k}-2^{k})=17^{b}\Rightarrow 19^{k}+2^{k}=17^{x} ;19^{k}-2^{k}=17^{y}$

$\Rightarrow 17^{x}+17^{y}=2.19^{a}$ mà $2.19^{a}$ không chia hết cho 17 nên vo nghiệm 

Vậy a=1 là nghệm duy nhất của phương trình 

P/S: xin lỗi các bạn mấy bữa nay minh quên luôn topic 

[Mr handsome ugly]

Bổ đề số 10: Một số nguyên tố lẻ p có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương.

Đây là định lý fermat về tổng 2 số chính phương, mình xin phát biểu lại cho chính xác hơn 

Với mọi số nguyên tố lẻ đồng dư 1 mod 4 thì số nguyên tố đó luôn có thể được tách thành tổng của 2 số chính phương 

P/S: bạn có bài tập đăng luôn đi

[Mr handsome ugly]

Bổ đề 11: với n-1 là số nhỏ nhất thỏa $n\mid a^{n-1}-1\Rightarrow n$ là số nguyên tố 

Chứng minh : ta có theo định lý euler thì $n\mid a^{\phi(n)}-1$ mà \phi(n)$\leq n-1$ và n-1 lại là số nhỏ nhất thỏa ĐK trên nên \phi(n)=n-1 suy ra n là số nguyên tố 

 

Bổ đề 12 :với t là số nhỏ nhất thỏa $n\mid a^{t}-1$ thì t là bội số chung  nhỏ nhất của $(p_{1}-1)^{x_{1}}; (p_{2}-1)^{x_{2}};...;(p_{k}-1)^{x_{k}}$ với $p_{1}^{x_{1}}p_{2}^{x_{2}}...p_{k}^{x_{k}}$ là dãy thừa số nguyên tố của n và n>$t>\frac{n}{2}$

Chứng minh : theo định lý fermat nhỏ thì $p_{1}\mid a^{p_{1}-1}-1...p_{k}\mid a^{p_{k}-1}-1$ gọi y là bội chung nhỏ nhất của  $(p_{1}-1)^{x_{1}}; (p_{2}-1)^{x_{2}};...;(p_{k}-1)^{x_{k}}$ nên $n\mid a^{y}-1$ và y<n mà t lại là số nhỏ nhất thỏa ĐK trên t=y

P/S : không biết khi nào mới vào topic số học olympic chém được đây , khó ác 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 25-10-2020 - 15:27

[Mr handsome ugly]

mình xin góp bài nữa : tìm a và b nguyên dương sao cho $a+b\mid 2ab$

[Mr handsome ugly]

mình xin góp bài nữa : tìm a và b nguyên dương sao cho $a+b\mid 2ab$

không ai giải nhỉ ( 

từ GT $\Rightarrow a+b\mid 2ab-(a+b)^{2}\Leftrightarrow a+b\mid a^{2}+b^{2}$ 

Gỉa sử : $a\geq b\Rightarrow a=b+k$ ( k là số tự nhiên ) $\Rightarrow a^{2}+b^{2}=a(b+k)+b^{2}=b(a+b)+ka\Rightarrow a+b\mid (a-b)a$

Gọi d=(a,b) $\Rightarrow a=xd ;b=yd ; (x;y)=1 \Rightarrow d(x+y)\mid d^{2}(x-y)x\Rightarrow x+y\mid d(x-y)x$ 

Mà (x;x+y)=1  và (x+y;x-y)=1 do (x;y)=1 $\Rightarrow x+y\mid d$

Vậy phương trình  có vô số  nghiệm khi ước chung lớn nhất của a và b chia hết cho tổng $\frac{a}{d}+\frac{b}{d}$

Từ đây ta có một số mở rộng như sau :

$a^{2}+1$ không chia hết cho a+1

$a^{2}+b^{2}$ không chia hết cho a+b với d=(a;b) < $\frac{a}{d}+\frac{b}{d}$

Bài toán mở : tìm a và k sao cho $a+1\mid a^{2k}+1$

Từ giả thiết ta có : $a+1\mid a(a^{2k-1}-1)\Leftrightarrow a+1\mid a^{2k-1}-1\Leftrightarrow a+1\mid a(a^{2k-2}+1)$ , tiếp tục lùi như vậy ta được $a+1\mid a^{2}+1$  nhưng điều kiện trên chỉ xảy ra khi a=1 và k=1 vậy k=1 và a=1 

P/S : bài này mình thấy không khó nhưng nó rất hữu dụng trong việc giải quyết một số vấn đề 

ví dụ: tìm a,b,c sao cho $(a+1)^{c}\mid a^{b}+1$ 

xài bài toán trên ta giải quyết được vế đầu với b chẵn, phần còn lại sử dụng LTE thì sẽ ra tương đối nhanh 

[Mr handsome ugly]

Bổ đề 11: với n-1 là số nhỏ nhất thỏa $n\mid a^{n-1}-1\Rightarrow n$ là số nguyên tố 

Chứng minh : ta có theo định lý euler thì $n\mid a^{\phi(n)}-1$ mà \phi(n)$\leq n-1$ và n-1 lại là số nhỏ nhất thỏa ĐK trên nên \phi(n)=n-1 suy ra n là số nguyên tố 

 

Bổ đề 12 :với t là số nhỏ nhất thỏa $n\mid a^{t}-1$ thì t là bội số chung  nhỏ nhất của $(p_{1}-1)^{x_{1}}; (p_{2}-1)^{x_{2}};...;(p_{k}-1)^{x_{k}}$ với $p_{1}^{x_{1}}p_{2}^{x_{2}}...p_{k}^{x_{k}}$ là dãy thừa số nguyên tố của n và n>$t>\frac{n}{2}$

Chứng minh : theo định lý fermat nhỏ thì $p_{1}\mid a^{p_{1}-1}-1...p_{k}\mid a^{p_{k}-1}-1$ gọi y là bội chung nhỏ nhất của  $(p_{1}-1)^{x_{1}}; (p_{2}-1)^{x_{2}};...;(p_{k}-1)^{x_{k}}$ nên $n\mid a^{y}-1$ và y<n mà t lại là số nhỏ nhất thỏa ĐK trên t=y

P/S : không biết khi nào mới vào topic số học olympic chém được đây , khó ác 

xin lỗi các bạn bổ đề 12 mình lập luận không được chặt chẽ lắm , bài toán trên chỉ xảy ra khi $V_{P_{k}}(a^{p_{k}-1}-1)=1$

P/S: nhân tiện cho mình hỏi GTLN của $V_{P}(a^{p-1}-1)$ là bao nhiêu với p nguyên tố 

[Mr handsome ugly]

Một phương pháp căn bản trong số học

Trong đề thi , thông thường các bạn sẽ thường xuyên gặp các bài toán có dạng sau: $x^{2}-k^{2}=y^{n}$ ( mình thấy trong mấy đề trước kia thôi giờ thì không rõ  )

Ở đây ta nhận thấy ta có xuất hiện hằng đẳng thức ở vế trái nhưng lại không biết cách sử dụng nó, để giải quyết ta cần đặt ẩn phụ với (x-k) và (x+k)

ta đặt d=(x+k ; x-k) $\Rightarrow d\mid 2x ; d\mid 2k$ ( nếu x và k nguyên tố cùng nhau thì d=2 nhưng ta đang xét k như một hằng số nên nếu k là số nguyên tố thì d=2) 

Tiếp tục đặt : $x-k=da^{n} ; x+k=db^{n}; (ab=y) \Rightarrow d^{2}a^{n}b^{n}=y^{n}\Rightarrow d^{2}=f^{n}\Rightarrow f=d^{\frac{2}{n}}$

vậy d phải có dạng $e^{g}$ sao cho $n\mid 2g$ thì f mới nguyên dương 

đến đây nếu d thỏa các điều kiện trên thì suy ra $2x=d(a^{n}+b^{n});2k=d(b^{n}-a^{n})$

Khi đầu nhìn vào các bạn sẽ thấy nó khá rườm rà nhưng nếu thay k bằng các số nguyên tố hoặc bằng các hợp số nhỏ như 4;6;8 thì xét trường hợp ta vẫn có thể làm ra ; phổ biến nhất có lẽ là k=1 

ví dụ : giải phương trình nghiệm nguyên dương: $x^{2}-16=y^{3}$ ( bài này từng có trên VMF nên mình xin phép mượn làm ví dụ)

theo như đã làm sẵn ở trên thì ta có $k=4\Rightarrow d\mid 8$ , tới đây xét d=1;2;4;8 rồi tách ra làm thôi , kẹp thêm chút nữa là ra ( mình lười gõ quá>)

[Mr handsome ugly]

mình xin góp cho 1 bài mới giải phương trình   $[x[x]]=5$ ( "[" là phần nguyên nha, do latex không có kí hiệu này nên mình gõ đỡ ) 

P/S: diễn đàn mình không có topic nào hướng dẫn các mem mới tiếp cận với toán oympic nhỉ , khó quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 09-11-2020 - 11:49

[Tan Thuy Hoang]

mình xin góp cho 1 bài mới giải nghiệm nguyên $[x[x]]=5$ ( "[" là phần nguyên nha, do latex không có kí hiệu này nên mình gõ đỡ ) 

P/S: diễn đàn mình không có topic nào hướng dẫn các mem mới tiếp cận với toán oympic nhỉ , khó quá

Ủa lạ thế x nguyên thì [x] = x luôn mà.

[Mr handsome ugly]

Ủa lạ thế x nguyên thì [x] = x luôn mà.

mình nhầm bạn

[Mr handsome ugly]

mình xin góp cho 1 bài mới giải phương trình   $[x[x]]=5$ ( "[" là phần nguyên nha, do latex không có kí hiệu này nên mình gõ đỡ ) 

P/S: diễn đàn mình không có topic nào hướng dẫn các mem mới tiếp cận với toán oympic nhỉ , khó quá

mình xin đăng lời giải ( đang tập làm phần nguyên, sai sót gì các bạn góp ý): 

ta có $x=[x]+\left \{ x \right \}\Rightarrow [x[x]]=[x]^{2}+[[x]\left \{ x \right \}]=5$

ta có x dù dương hay âm thì $[x]\left \{ x \right \}>0\Rightarrow [[x]\left \{ x \right \}]>0$ với mọi x 

$[x]^{2}+[[x]\left \{ x \right \}]=5> 0\Rightarrow [x]^{2}=1;4\Rightarrow [x]=1;2$

nếu [x]=1$[\left \{ x \right \}[x]]=4\Rightarrow [\left \{ x \right \}]=4$ ( vô lí )

nếu [x]=2 $\Rightarrow [2\left \{ x \right \}]=1$( đúng )

P/S: tổng quát hóa bài toán lên giải phương trình nghiệm dương $[[...[[x]]...]]=1$ ( mấy cái '...' là bằng nhau)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 10-11-2020 - 13:27

[Mr handsome ugly]

mình xin giải bài này luôn: tìm nghiệm dương [x[x[x[x[...x[x]]...]]]]]]] ( hình như hồi trước mình gõ sai đề thì phải ) 

 

Ta có:$[x[x[x[x...x[x]]...]]]\geqslant [x]^{n}$ ( n ở đây là số lần lặp lại của biến x trong phương trình )

$\Rightarrow 1\geq [x]\Rightarrow 1=[x]$

Tới đây thay [x]=1 vào phương trình trên thì ta thấy luôn đúng 

vậy phương trình có nghiệm $1\leq x<2$

 

Mở rộng sang nghiệm nguyên âm  thì , ta nhận thấy khi tách tất cả các biến x thành dạng $[x]+\left \{ x \right \}$ thì nếu x lặp lần số lần là số chẵn thì $\Rightarrow 1\geq [x]^{n}\Rightarrow [x]=1;-1$ thay 2 giá trị trên vào ta sẽ loại cái nghiệm sai 

còn nếu số lần lặp lại của x là số lẻ thì chắc chắn phương trình vô nghiêm nên dứng lại tại đây 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 28-11-2020 - 18:10

[Mr handsome ugly]

Mình xin dẫn lại và nêu ra vài hệ quả của các định lý lớn: một số nguyên dương sẽ chỉ có căn nguyên thủy nếu nó có các dạng 2;4;$p^{k};2p^{k}$

ở đây mình sẽ chỉ nói về dạng $p^{k}$ vì 2;4 không quá quan trọng còn $\varphi (2p^{k})=\varphi(p^{k})$ ( định lý này khá khó chứng minh , bản thân mình không đủ khả năng để hiểu được hết bài chứng minh mà chỉ biết sử dụng nó nên bài chứng minh mình sẽ dẫn pdf cuối bài) 

Gọi a là căn nguyên thủy của $p^{k}\Rightarrow p^{k}\mid a^{\varphi(p^{k})}-1\Rightarrow p^{k}\mid a^{p^{k-1}(p-1)}-1\Rightarrow p^{k}\mid (a^{p-1})^{p^{k-1}}-1$ ; ở đây theo LTE ta nhận thấy nếu a muốn là cắn nguyên thủy của $p^{k}$ thì bắt buộc $V_{p}(a^{p-1}-1)=1$ ; nếu $V_{p}(a^{p-1}-1)\geq 2$ thì số nhỏ nhất có thể chia hết cho p là $p^{k}\mid (a^{p-1})^{p^{k-f}}-1$ ( $f\geq 2$) từ đó dẫn đến a không còn là căn nguyên thủy của $p^{k}$

Từ đây ta có các phát biểu như sau: với mọi số nguyên tố luôn tồn tại a sao cho $V_{p}(a^{p-1}-1)=1$

Và các số nguyên tố khác nhau không thể có cùng căn nguyên thủy trong đó với tất cả số nguyên tố $V_{p}(a^{p_{i}-1}-1)=1$ với $p_{i}$ là một số nguyên tố bất kì cho trước 

Minh cũng xin dẫn lại pdf của anh Phạm Hy Hiếu về căn nguyên thủy ( khó dã man)

file:///C:/Users/pc/Downloads/ord_and_primitive_root%20(14).pdf ( các bạn copy đường link vào google là ra ; do mình không biết dẫn file mọi người thông cảm )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 04-12-2020 - 21:22

[Mr handsome ugly]

Một số hướng đi thú vị 

Chắc hẳn chúng ta đã quá quen với bài  toán : tìm a;b nguyên dương để $2ab\mid a^{2}+b^{2}$ ; đây là một bài toán khá cơ bản và phổ biến nhưng nếu để ý kĩ ta sẽ nhận thấy 2 vế trên là 2 vế trong Bất đẳng thức Cauchy; từ đó một câu hỏi được đặt ra là liệu ta có thể lấy các vế lớn hơn trong các bất đẳng thức cổ điển và chia cho vế nhỏ hơn; ví dụ như là tìm a;c;b nguyên dương cho $3abc\mid a^{3}+b^{3}+c^{3}$ hay tổng quát hơn nữa : $na_{1}a_{2}...a_{n}\mid a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+...+a_{n}^{n}$ .Thầm chí nếu nhìn rộng ra những bất dẳng thức khác như bunhiacopxki hay Holder đều có thể làm như vậy. Ở trong bài viết này mình thực sự không đưa ra bất cứ kiến thức hay lời giải nào vì về cơ bản là... mình không làm nổi ; nhưng nhìn vào các BĐT có điểm rơi tự do thì ta có thể đoán được phép chia hết chỉ xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$. Bài viết này mình chỉ nêu ra một số liên kết số học giữa các vế trong bất đẳng thức cổ điển thôi chư thật ra mình không thể giải quyết nổi bất cứ bài toán náo nên mong mọi người sẽ thử sức với các bài toán trên như một cách giải trí trong số học

[Syndycate]

minh xin góp một bài : tìm n nguyên dương để $n^{3}\mid 3^{n}-1$

                                    cho k là số nguyên dương, tìm n để $3^{k}\mid 2^{n}-1$

                                    cho p là số nguyên tố lẻ sao cho $p^{n}\mid a^{p}-1$, chứng minh $p^{n-1}\mid a-1$

p/s: hình như mình lấy trên blog của anh Toàn hơi nhiều thì phải 

Câu 1) có thể tổng quát: Tìm a,b nguyên dương sao cho: $a,b>1$ thỏa mãn : $b^a| a^{b} -1$

[Mr handsome ugly]

Câu 1) có thể tổng quát: Tìm a,b nguyên dương sao cho: $a,b>1$ thỏa mãn : $b^a| a^{b} -1$

Ta có từ bổ đề 1 thì $p\mid a^{b}-1$ với p là ước nguyên tố nhỏ nhất của b

nếu p lẻ thì $V_{p}(a^{b}-1)=V_{p}(a-1)+V_{p}(b)\geq V_{p}(b)a\Leftrightarrow a-1> V_{p}(b)(a-1)\Leftrightarrow V_{p}(b)=0$ (vô lí) nên b=1

nếu p chẵn và $V_{2}(a-1)\geq 2$ thì $V_{2}(a^{b}-1)=V_{2}(a-1)+V_{2}(b)\geq V_{2}(b)a$ ; tới đây làm tương tự p lẻ 

nếu p =2 và $V_{2}(b)=1\Rightarrow V_{2}(a^{b}-1)=V_{2}(a^{2}-1)+V_{2}(b)-1\geq V_{2}(b)a\Leftrightarrow V_{2}(a+1)+V_{2}(b)\geq V_{2}(b)a\Leftrightarrow V_{2}(a+1)\geq V_{2}(b)(a-1)\Leftrightarrow a+1> V_{2}(b)(a-1)\Leftrightarrow2> (a-1)(V_{2}(b)-1 )\Rightarrow (a-1)(V_{2}(b)-1)=1;0\Leftrightarrow a=2;1 ;V_{2}(b)=2;1$

nhưng nếu a=2 thì p không còn chẵn nữa nên a=1

vậy b=1 là nghiệm