Chủ đề này có 27 trả lời

[Tan Thuy Hoang]

sau đây là dự đoán của riêng mình thôi không biết có đúng không : chứng minh $[a^{m}-1;a^{n}-1]=a^{[m;n]}-1$ 

P/S: sai thì các bạn sửa giúp mình và góp  , mình nghĩ xài $(a^{m}-1;a^{n}-1)=a^{(m;n)}-1$ và $[a;b]=\frac{ab}{(ab)}$ nhưng chưa làm được

Phản ví dụ: [2⁴ - 1, 2⁵ - 1] = 15 . 31; còn 2^{[4, 5]} - 1 = 2²⁰ - 1 lớn hơn rất nhiều.

[Mr handsome ugly]

với t là số nhỏ nhất thỏa $p\mid a^{t}-1$ và p nguyên tố thì liệu có tìm được giá trị của a và p thỏa    $p^{n}\mid a^{t}-1$ và nếu có thì n có GTLN là bao nhiêu 

P/S: cái này mình thắc mắc riêng thôi chứ không phải lấy ở ngoài nên không biết giải được không 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 19-10-2020 - 14:03

[Tan Thuy Hoang]

Bổ đề số 10: Một số nguyên tố lẻ p có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương.

[Mr handsome ugly]

1. tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn $2^{2013}|1999^{n}-1$

2. tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất thỏa mãn $1991^{k}$ là ước của $1990^{1991^{1992}}+1992^{1991^{1990}}$

3. tìm bộ số nguyên $(a,b,p)$ sao cho $a,b$ là số nguyên dương, $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $2^{a}+p^{b}=19^{a}$

 

PS: 3 bài trên hình như xuất hiện trên diễn đàn rồi hay sao ý ạ :>

câu 1: dễ rồi xài LTE là ra

câu 2: ta có $V_{1991}((1990^{1991^{2}})^{1991^{1990}}+1992^{1991^{1990}} )=V_{1991}(1990^{1991^{2}}+1992)+V_{1991}(1991^{^{1990}})$

 Mà $1990^{1991^{2}}+1+1991$ không chia hết cho $1991^{2}$ nên số k lớn nhất là 1991

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 24-10-2020 - 09:49

[Mr handsome ugly]

1. tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn $2^{2013}|1999^{n}-1$

2. tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất thỏa mãn $1991^{k}$ là ước của $1990^{1991^{1992}}+1992^{1991^{1990}}$

3. tìm bộ số nguyên $(a,b,p)$ sao cho $a,b$ là số nguyên dương, $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $2^{a}+p^{b}=19^{a}$

 

PS: 3 bài trên hình như xuất hiện trên diễn đàn rồi hay sao ý ạ :>

câu 3 : do $17\mid 19^{a}-2^{a}\Rightarrow p=17$ 

$\Leftrightarrow 19^{a}-2^{a}=17^{b}$

xét a<2 : các bạn tự làm nha

xét $a\geq 2\Rightarrow 17^{a}=1(mod4)\Rightarrow 19^{a}=1(mod4)\Rightarrow a=2k$

$\Leftrightarrow (19^{k}+2^{k})(19^{k}-2^{k})=17^{b}\Rightarrow 19^{k}+2^{k}=17^{x} ;19^{k}-2^{k}=17^{y}$

$\Rightarrow 17^{x}+17^{y}=2.19^{a}$ mà $2.19^{a}$ không chia hết cho 17 nên vo nghiệm 

Vậy a=1 là nghệm duy nhất của phương trình 

P/S: xin lỗi các bạn mấy bữa nay minh quên luôn topic 

[Mr handsome ugly]

Bổ đề số 10: Một số nguyên tố lẻ p có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương.

Đây là định lý fermat về tổng 2 số chính phương, mình xin phát biểu lại cho chính xác hơn 

Với mọi số nguyên tố lẻ đồng dư 1 mod 4 thì số nguyên tố đó luôn có thể được tách thành tổng của 2 số chính phương 

P/S: bạn có bài tập đăng luôn đi

[Mr handsome ugly]

Bổ đề 11: với n-1 là số nhỏ nhất thỏa $n\mid a^{n-1}-1\Rightarrow n$ là số nguyên tố 

Chứng minh : ta có theo định lý euler thì $n\mid a^{\phi(n)}-1$ mà \phi(n)$\leq n-1$ và n-1 lại là số nhỏ nhất thỏa ĐK trên nên \phi(n)=n-1 suy ra n là số nguyên tố 

 

Bổ đề 12 :với t là số nhỏ nhất thỏa $n\mid a^{t}-1$ thì t là bội số chung  nhỏ nhất của $(p_{1}-1)^{x_{1}}; (p_{2}-1)^{x_{2}};...;(p_{k}-1)^{x_{k}}$ với $p_{1}^{x_{1}}p_{2}^{x_{2}}...p_{k}^{x_{k}}$ là dãy thừa số nguyên tố của n và n>$t>\frac{n}{2}$

Chứng minh : theo định lý fermat nhỏ thì $p_{1}\mid a^{p_{1}-1}-1...p_{k}\mid a^{p_{k}-1}-1$ gọi y là bội chung nhỏ nhất của  $(p_{1}-1)^{x_{1}}; (p_{2}-1)^{x_{2}};...;(p_{k}-1)^{x_{k}}$ nên $n\mid a^{y}-1$ và y<n mà t lại là số nhỏ nhất thỏa ĐK trên t=y

P/S : không biết khi nào mới vào topic số học olympic chém được đây , khó ác 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 25-10-2020 - 15:27

[Mr handsome ugly]

mình xin góp bài nữa : tìm a và b nguyên dương sao cho $a+b\mid 2ab$