mình xin góp bài nữa : tìm a và b nguyên dương sao cho $a+b\mid 2ab$
không ai giải nhỉ
(
từ GT $\Rightarrow a+b\mid 2ab-(a+b)^{2}\Leftrightarrow a+b\mid a^{2}+b^{2}$
Gỉa sử : $a\geq b\Rightarrow a=b+k$ ( k là số tự nhiên ) $\Rightarrow a^{2}+b^{2}=a(b+k)+b^{2}=b(a+b)+ka\Rightarrow a+b\mid (a-b)a$
Gọi d=(a,b) $\Rightarrow a=xd ;b=yd ; (x;y)=1 \Rightarrow d(x+y)\mid d^{2}(x-y)x\Rightarrow x+y\mid d(x-y)x$
Mà (x;x+y)=1 và (x+y;x-y)=1 do (x;y)=1 $\Rightarrow x+y\mid d$
Vậy phương trình có vô số nghiệm khi ước chung lớn nhất của a và b chia hết cho tổng $\frac{a}{d}+\frac{b}{d}$
Từ đây ta có một số mở rộng như sau :
$a^{2}+1$ không chia hết cho a+1
$a^{2}+b^{2}$ không chia hết cho a+b với d=(a;b) < $\frac{a}{d}+\frac{b}{d}$
Bài toán mở : tìm a và k sao cho $a+1\mid a^{2k}+1$
Từ giả thiết ta có : $a+1\mid a(a^{2k-1}-1)\Leftrightarrow a+1\mid a^{2k-1}-1\Leftrightarrow a+1\mid a(a^{2k-2}+1)$ , tiếp tục lùi như vậy ta được $a+1\mid a^{2}+1$ nhưng điều kiện trên chỉ xảy ra khi a=1 và k=1 vậy k=1 và a=1
P/S : bài này mình thấy không khó nhưng nó rất hữu dụng trong việc giải quyết một số vấn đề
ví dụ: tìm a,b,c sao cho $(a+1)^{c}\mid a^{b}+1$
xài bài toán trên ta giải quyết được vế đầu với b chẵn, phần còn lại sử dụng LTE thì sẽ ra tương đối nhanh