Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm các số nguyên dương $n>1$ thỏa mãn tính chất nếu $d>1$ là ước của $n$ thì $d-1$ là ước của $n-1$

ước

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Tìm các số nguyên dương $n>1$ thỏa mãn tính chất nếu $d>1$ là ước của $n$ thì $d-1$ là ước của $n-1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 25-05-2023 - 17:11

Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#2
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Tôi nghĩ rằng n là số nguyên tố hoặc n = $p^2$  với p là số nguyên tố.

Không biết còn thiếu trường hợp nào không?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 25-05-2023 - 17:32

N.K.S - Learning from learners!


#3
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Tôi nghĩ rằng n là số nguyên tố hoặc n = $p^2$  với p là số nguyên tố.

Không biết còn thiếu trường hợp nào không?

 

Em nghĩ chưa đủ đâu ạ. Nếu $n$ là 15 và $d=3$ là ước của $n$ thì $d-1$ vẫn là ước của $n-1$ đấy ạ


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#4
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Em nghĩ chưa đủ đâu ạ. Nếu $n$ là 15 và $d=3$ là ước của $n$ thì $d-1$ vẫn là ước của $n-1$ đấy ạ

 

Tôi thì lại nghĩ là số n = 15 không đúng, vì nếu theo yêu cầu của bài thì tất cả các ước số của n đều phải có tính chất như vậy. Rõ ràng 5 là ước của 15 nhưng 14 không chia hết cho 4  :D

Hoặc bạn phải sửa lại đề là "tồn tại" ước số d của n để n - 1 cũng chia hết cho d - 1.

Khi đó mới chặt chẽ!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 25-05-2023 - 21:07

N.K.S - Learning from learners!


#5
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 165 Bài viết
Dễ thấy mọi số nguyên tố $n$ đều thoả mãn tính chất đã nêu.
Nếu $n$ là hợp số thỏa mãn tính chất đã nêu, gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$. Vì $\dfrac{n}{p}$ là ước của $n$ nên $\dfrac{n}{p} - 1$ là ước của $n-1$. Mà $n \ge p^2$ và $p > 1$ nên ta có các bất đẳng thức $$\left(\frac{n}{p}-1\right)p < n - 1 \le \left(\frac{n}{p}-1\right)(p+1),$$ suy ra $$n-1 = \left(\frac{n}{p}-1\right)(p+1),$$ hay $n = p^2$.
Ngược lại, dễ dàng kiểm tra được rằng $n = p^2$, với $p$ là số nguyên tố bất kỳ, thoả mãn tính chất đã nêu.
$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#6
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Dễ thấy mọi số nguyên tố $n$ đều thoả mãn tính chất đã nêu.
Nếu $n$ là hợp số thỏa mãn tính chất đã nêu, gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$. Vì $\dfrac{n}{p}$ là ước của $n$ nên $\dfrac{n}{p} - 1$ là ước của $n-1$. Mà $n \ge p^2$ và $p > 1$ nên ta có các bất đẳng thức $$\left(\frac{n}{p}-1\right)p < n - 1 \le \left(\frac{n}{p}-1\right)(p+1),$$ suy ra $$n-1 = \left(\frac{n}{p}-1\right)(p+1),$$ hay $n = p^2$.
Ngược lại, dễ dàng kiểm tra được rằng $n = p^2$, với $p$ là số nguyên tố bất kỳ, thoả mãn tính chất đã nêu.

 

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


N.K.S - Learning from learners!






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: ước

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh