Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CM:$\sum \frac{b^{2}c}{a^{3}(b+c)}\geqslant \frac{1}{2}(\sum \frac{1}{a})$

bđt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 DepressedGenius

DepressedGenius

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Trần Phú - Hải Phòng
  • Sở thích:Reeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

Đã gửi 14-10-2020 - 16:17

Cho $a,b,c> 0$.  Chứng minh :          $\sum \frac{b^{2}c}{a^{3}(b+c)}\geqslant \frac{1}{2}(\sum \frac{1}{a})$

         Các senpai giúp em với ạ !!!


PC : Windows XP

Me : Otaku

Freedom : NO  :( 

Hotel ? :  TRIVAGO


#2 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 15-10-2020 - 12:06

Cho $a,b,c> 0$.  Chứng minh :          $\sum \frac{b^{2}c}{a^{3}(b+c)}\geqslant \frac{1}{2}(\sum \frac{1}{a})$

         Các senpai giúp em với ạ !!!

Đặt $x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}$. BĐT tương đương với:

$\sum \frac{x^{3}}{y(y+z)}\geq \frac{\sum x}{2}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$VT\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{\sum xy^{2}+3xyz}\geq \frac{(\sum x)^{4}}{9(\sum xy^{2}+3xyz)}$

Cần chứng minh: $\sum xy^{2}+3xyz\leq \frac{2(\sum x)^{3}}{9}$

Ta đưa về chứng minh kết quả mạnh hơn là $\sum xy^{2}+xyz\leq \frac{4(\sum x)^{3}}{27}$.

Chuẩn hóa $x+y+z=3$. Không mất tính tổng quát, giả sử $y$ nằm giữa $x$ và $z$.

$\Rightarrow x(x-y)(y-z)\geq 0$

$\Rightarrow \sum xy^{2}+xyz\leq y(x+z)^{2}=y(3-y)^{2}=4-(y-1)^{2}(4-y)\leq 4$

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c$. $\square$


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#3 DepressedGenius

DepressedGenius

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Trần Phú - Hải Phòng
  • Sở thích:Reeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

Đã gửi 16-10-2020 - 08:11

Ta đưa về chứng minh kết quả mạnh hơn là $\sum xy^{2}+xyz\leq \frac{4(\sum x)^{3}}{27}$.

Chuẩn hóa $x+y+z=3$. Không mất tính tổng quát, giả sử $y$ nằm giữa $x$ và $z$.

$\Rightarrow x(x-y)(y-z)\geq 0$

$\Rightarrow \sum xy^{2}+xyz\leq y(x+z)^{2}=y(3-y)^{2}=4-(y-1)^{2}(4-y)\leq 4$

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c$. $\square$

PDF-sensei giải thích rõ hơn đoạn này được không ạ, em mới làm quen bđt nên không hiểu gì hết  :(  :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DepressedGenius: 16-10-2020 - 08:19

PC : Windows XP

Me : Otaku

Freedom : NO  :( 

Hotel ? :  TRIVAGO


#4 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 16-10-2020 - 20:57

PDF-sensei giải thích rõ hơn đoạn này được không ạ, em mới làm quen bđt nên không hiểu gì hết  :(  :(

Chuẩn hóa cho dễ nhìn thôi :) Thực ra là AM-GM 3 số thôi :lol:


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh