Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng:$\sqrt{ab+bc+ca}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 HPhatMessi

HPhatMessi

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sóc Trăng

Đã gửi 16-10-2020 - 18:39

Cho các số thực dương $a,b,c\geq1$ và $a+b+c=9$.

Chứng minh rằng:$\sqrt{ab+bc+ca}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

 

Đây là lời giải của mình:           

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương, ta có:

$\sqrt{a}+\sqrt{a}+\frac{a^{2}}{3\sqrt{3}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{3\sqrt{3}}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$

Tương tự, ta cũng có:               $2\sqrt{b}+\frac{b^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{3b}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$

                                              $2\sqrt{c}+\frac{c^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{3c}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$

 

Từ đó, ta suy ra: $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$

Mặt khác, do:  $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{9\sqrt{3}}=\frac{81}{9\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$

                 và: $\frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}=\frac{27}{3\sqrt{3}}=9\sqrt{3}$

     nên ta có: $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 6\sqrt{3}$ hay $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 3\sqrt{3}$       (1)

     Mà:          $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}=81$ hay $\sqrt{ab+bc+ca}\leq \sqrt{27}= 3\sqrt{3}$      (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

 

Cho mình hỏi là đoạn này từ 3 dòng này suy ra $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 6\sqrt{3}$ như thế là sai dấu rồi đúng không ạ, nhưng mà mình chưa biết sửa lại thế nào, mọi người giúp mình xem có cách nào sửa lại gọn không, hay phải làm lại cách khác ạ?

 

Từ đó, ta suy ra: $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$

Mặt khác, do: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{9\sqrt{3}}=\frac{81}{9\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$

                 và: $\frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}=\frac{27}{3\sqrt{3}}=9\sqrt{3}$

nên ta có: $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 6\sqrt{3}$ hay $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 3\sqrt{3}$        

 

P.S: Có lẽ mình dùng cách chứng minh hơi dài dòng, mọi người thông cảm ạ!






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh