a) $x_1,x_2 \leq 2$ và
b) $x_1+x_2 \leq 2$
2/ Dùng hàm sinh, hãy thiết lập công thức tính tổng $S=0^2+1^2+2^2+...+n^2.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 30-05-2023 - 07:16
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 30-05-2023 - 07:16
1/ Số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+x_2+...+x_k=n$ sao cho
b) $x_1+x_2 \leq 2$
(Đây là một bài hay là hai bài riêng rẽ vậy ? Nếu chỉ là một bài thì điều kiện $a$ thừa rồi)
$\textbf{TH1}$ : $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=0\\x_3+x_4+x_5+...+x_k=n \end{matrix}\right.\rightarrow$ Có $C_{n+k-3}^{k-3}$ nghiệm nguyên không âm
$\textbf{TH2}$ : $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_3+x_4+x_5+...+x_k=n-1 \end{matrix}\right.\rightarrow$ Có $2C_{n+k-4}^{k-3}$ nghiệm nguyên không âm
$\textbf{TH3}$ : $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_3+x_4+x_5+...+x_k=n-2 \end{matrix}\right.\rightarrow$ Có $3C_{n+k-5}^{k-3}$ nghiệm nguyên không âm
Vậy tổng số bộ nghiệm nguyên không âm là $C_{n+k-3}^{k-3}+2C_{n+k-4}^{k-3}+3C_{n+k-5}^{k-3}$
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
2/ Dùng hàm sinh, hãy thiết lập công thức tính tổng $S=0^2+1^2+2^2+...+n^2.$
Ta đã biết $\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}+...$
Cần tìm hàm $g(x)$ có dạng $n+(n-1)x+(n-2)x^2+...+2x^{n-2}+x^{n-1}$
$g(x)=n+(n-1)x+(n-2)x^2+...+2x^{n-2}+x^{n-1}=\frac{1-x^n}{1-x}+\frac{1-x^{n-1}}{1-x}+\frac{1-x^{n-2}}{1-x}+...+\frac{1-x}{1-x}=$
$=\frac{n-\left ( \frac{1-x^{n+1}}{1-x}-1 \right )}{1-x}=\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(1-x)^2}$
Vậy hàm sinh cần tìm là $f(x)=\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(1-x)^2}.\frac{1}{(1-x)^2}=\left ( x^{n+1}-(n+1)x+n \right )\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+3}^3x^k$
$S=\left [ x^{n-1} \right ]f(x)=nC_{n+2}^3-(n+1)C_{n+1}^3=\frac{n^2(n+1)(n+2)}{6}-\frac{n(n+1)^2(n-1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
(Edited)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 30-05-2023 - 19:14
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Ý em là tìm được công thức tính tổng là $S=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}.$
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 30-05-2023 - 21:30
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh