Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bài tập bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 lazi

lazi

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

Đã gửi 18-10-2020 - 18:31

cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 4. chứng minh rằng a+b2+c2+abc<8



#2 Funimation

Funimation

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:フニマチオン
  • Sở thích:アニメ

Đã gửi 18-10-2020 - 19:10

Theo BĐT tam giác:

$\left\{ \begin{matrix} a+b>c\Rightarrow a+b+c>2c\Rightarrow 2>c \\ b+c>a\Rightarrow b+c+a>2a\Rightarrow 2>a \\ c+a>b\Rightarrow c+a+b>2b\Rightarrow 2>b \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow (2-a)(2-b)(2-c)>0$

$\Leftrightarrow (4-2a-2b+ab)(2-c)>0$

$\Leftrightarrow 8-4a-4b-4c+2ab+2ac+2bc-abc>0$

$\Leftrightarrow 2ab+2bc+2ca>8+abc$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}>8+abc+a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\Leftrightarrow abc+a^{2}+b^{2}+c^{2}<8$


「突き通せてもいて防げてもいるなんて現象があるわけないだろう」という方にオススメのパラドックスが、『シュレディンガーの猫』です。


#3 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 18-10-2020 - 20:53

Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác có chu vi $4$. CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq \frac{208}{27}$

Edit: Thanks Tan Thuy Hoang :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 18-10-2020 - 21:40

$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#4 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Geometry

Đã gửi 18-10-2020 - 21:27

Mở rộng bài toán: Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác có chu vi $4$. CMR:

a) $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\leq \frac{208}{27}$;

b) $24(a^{2}+b^{2}+c^{2})-27abc\leq 64$

a) Em nghĩ là bất đẳng thức phải đổi dấu ạ.

BĐT cần chứng minh tương đương:

$27(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+108abc\geq 13(a+b+c)^3$

$\Leftrightarrow 14\sum a^3+30abc\geq 6\sum a^2b+6\sum ab^2$

$\Leftrightarrow 7\sum a^3+15abc\geq 3\sum a^2b+3\sum ab^2$.

Theo BĐT Schur thì: $\sum 7(a^3+3abc)\geq \sum 7(a^2b+\sum ab^2)$.

Theo BĐT AM - GM thì: $6abc\leq \sum a^2b+\sum ab^2$.

Trừ vế với vế của hai bất đẳng thức trên ta có đpcm.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh