Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^4+2x^2+6=y^2-y$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^4+2x^2+6=y^2-y$. 

Bài toán 2. Tìm số tự nhiên $x$ sao cho $x^4+x^3+1$ là số chính phương. 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#2
William Nguyen

William Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^4+2x^2+6=y^2-y$. 
Bài toán 2. Tìm số tự nhiên $x$ sao cho $x^4+x^3+1$ là số chính phương.

Bài toán 1.

      $x^4+2x^2+6=y^2-y$ $(1)$

$\Leftrightarrow 4x^4+8x^2+24=4y^2-4y$

$\Leftrightarrow (2x^2+2)^{2}+21=(2y-1)^{2}$

$\Leftrightarrow (2y-1)^{2} - (2x^2+2)^{2}=21$

$\Leftrightarrow [(2y-1)+(2x^2+2)].[(2y-1)-(2x^2+2)]=21$

Vì $x$ và $y$ là các số nguyên nên xảy ra 4 trường hợp sau:

TH1.

$\left\{\begin{matrix} (2y-1)+(2x^2+2)=1\\(2y-1)-(2x^2+2)=21 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2y-1=11\\2x^2+2=-10 \end{matrix}\right.$ (vô nghiệm)

TH2.

$\left\{\begin{matrix} (2y-1)+(2x^2+2)=21\\(2y-1)-(2x^2+2)=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2y-1=11\\2x^2+2=10 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} y=6\\x=\pm2 \end{matrix}\right.$

TH3.

$\left\{\begin{matrix} (2y-1)+(2x^2+2)=3\\(2y-1)-(2x^2+2)=7 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2y-1=5\\2x^2+2=-2 \end{matrix}\right.$ (vô nghiệm)

TH4.

$\left\{\begin{matrix} (2y-1)+(2x^2+2)=7\\(2y-1)-(2x^2+2)=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2y-1=5\\2x^2+2=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} y=3\\x=0 \end{matrix}\right.$

Kết luận:

Phương trình $(1)$ có các cặp nghiệm nguyên: $(x; y)=(\pm2; 6); (0; 3)$

Bài toán 2 cháu chưa nghĩ ra cách giải ạ.



#3
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^4+2x^2+6=y^2-y$. 

Bài toán 2. Tìm số tự nhiên $x$ sao cho $x^4+x^3+1$ là số chính phương. 

 

Lớp các bài toán dạng này thường nhân 4, ví dụ bài toán 2 có thể dựa vào nhận xét $(2x^{2}+x-1)^{2} \lt 4(x^{4}+x^{3}+1)\le (2x^{2}+x)^{2}$

Từ đó sử dụng nguyên lý kẹp thông thường(tất nhiên là có thể phải xét thêm một vài trường hợp đơn lẻ)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 30-05-2023 - 21:50

N.K.S - Learning from learners!


#4
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Bài toán 2. Tìm số tự nhiên $x$ sao cho $x^4+x^3+1$ là số chính phương. 

 

Bài toán này ngoài cách dựa trên nguyên lý kẹp như thầy thvn đã trình bày thì ta còn cách khác sau. 

 

Từ giả thiết $x^4+x^3+1$ là số chính phương, kết hợp với nhận xét  $x^4+x^3+1>(x^2)^2$ ta suy ra 

$$x^4+x^3+1=(x^2+k)^2.$$

với $k \in \mathbb{N}^*$. Biến đổi tương đương phương trình trên ta được 

$x^2(x-2k)=k^2-1.$ $(1)$ 

Tới đây, xét trường hợp $k=1$, thay vào phương trình trên ta giải ra ngay $x=0$ hoặc $x=2$, đều thỏa mãn. 

 

Nếu $k \geq 2$, khi đó $k^2-1 >0$.

Từ phương trình $(1)$ ta suy ra $k^2-1 \vdots x$. Mà $k^2-1>0$ dẫn tới $k^2-1>x^2$, suy ra $k>x$. 

Vậy nhưng, cũng từ $(1)$ và điều kiện $k^2-1>0$ ta còn suy ra $x-2k>0$, tức là $x>2k$. Mâu thuẫn. 

 

Vậy chỉ có $x=0$ và $x=2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh