Đến nội dung

Hình ảnh

$a^3+6ab+1$ và $b^3+6ab+1$ đều là lập phương của một số nguyên dương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
kograysus

kograysus

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

Tìm các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $a^3+6ab+1$ và $b^3+6ab+1$ đều là lập phương của một số nguyên dương



#2
Nguyen Bao Khanh

Nguyen Bao Khanh

    Hạ sĩ

  • Hái lộc VMF 2024
  • 74 Bài viết

Do $a^3+6ab+1 > a^3$ mà $a^3+6ab+1$ là số lập phương nên $a^{3}+6ab+1\geq (a+1)^{3}\Rightarrow 6ab\geq 3a^2+3a\Leftrightarrow 2b\geq a+1 \Rightarrow b^3< b^3+6ab+1 \leq b^3+6(2b-1)b+1=(b+4)^3-63-54b<(b+4)^3$ mà $b^3+6ab+1$ là số lập phương nên $b^3+6ab+1 \in \{(b+1)^3,(b+2)^3,(b+3)^3\}$.

 

Xét tính chẵn lẻ của $b$ thì loại được trường hợp $(b+2)^3$.

Nếu $b^3+6ab+1=(b+3)^3 \Rightarrow 27+27b+9b^2=6ab+1$.mà $VT\vdots 3,VP \not \vdots  3$ nên loại.

Nếu $b^3+6ab+1=(b+1)^3 \Rightarrow b+1=2a \Rightarrow a^3+6ab+1=a^3+12a^2-6a+1$ là số lập phương, do vai trò của $a,b$ như nhau nên chứng minh tương tự $a^3+6ab+1=(a+1)^3 \Rightarrow a+1=2b$.

Suy ra $a+b=2 \to a=b=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 05-06-2023 - 14:13
LaTeX





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh