Tìm các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $a^3+6ab+1$ và $b^3+6ab+1$ đều là lập phương của một số nguyên dương
$a^3+6ab+1$ và $b^3+6ab+1$ đều là lập phương của một số nguyên dương
#1
Đã gửi 03-06-2023 - 23:00
#2
Đã gửi 03-06-2023 - 23:38
Do $a^3+6ab+1 > a^3$ mà $a^3+6ab+1$ là số lập phương nên $a^{3}+6ab+1\geq (a+1)^{3}\Rightarrow 6ab\geq 3a^2+3a\Leftrightarrow 2b\geq a+1 \Rightarrow b^3< b^3+6ab+1 \leq b^3+6(2b-1)b+1=(b+4)^3-63-54b<(b+4)^3$ mà $b^3+6ab+1$ là số lập phương nên $b^3+6ab+1 \in \{(b+1)^3,(b+2)^3,(b+3)^3\}$.
Xét tính chẵn lẻ của $b$ thì loại được trường hợp $(b+2)^3$.
Nếu $b^3+6ab+1=(b+3)^3 \Rightarrow 27+27b+9b^2=6ab+1$.mà $VT\vdots 3,VP \not \vdots 3$ nên loại.
Nếu $b^3+6ab+1=(b+1)^3 \Rightarrow b+1=2a \Rightarrow a^3+6ab+1=a^3+12a^2-6a+1$ là số lập phương, do vai trò của $a,b$ như nhau nên chứng minh tương tự $a^3+6ab+1=(a+1)^3 \Rightarrow a+1=2b$.
Suy ra $a+b=2 \to a=b=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 05-06-2023 - 14:13
LaTeX
- perfectstrong, ThienDuc1101 và Leonguyen thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh