Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $AQ$ là đường đối trung của tam giác $ABC$

- - - - -

Lời giải thinhisthenumber1, 09-06-2023 - 09:32

Cho tam giác $ABC$ và trung tuyến $AM$. $P$ là điểm bất kì nằm trên $AM$. Tiếp tuyến tại $P$ của $(APB)$ cắt tiếp tuyến tại $C$ của $(APC)$ tại $Q$. Gọi $X, Y, Z$ lần lượt là hình chiếu của $P$ trên $BC, QC, QB$. Chứng minh rằng $AQ$ là đường đối trung của tam giác $ABC$ và $\triangle XYZ\sim \triangle ABC$

Mình xin góp lời giải.
$I$ và $J$ lần lượt là tâm đường trong ngoại tiếp $\triangle APC$ và $\triangle APB$

Dựng điểm $K$ sao cho $\overline{MP}.\overline{MK} = \overline{MB^{2}} \Rightarrow\triangle MBP\sim \triangle MBK\Rightarrow \widehat{KBC}=\widehat{BPA}$
Ta dễ dang CM được:$\widehat{BPA}=\widehat{vBA}=\widehat{QBt}$
$\Rightarrow BQ,BK$ đẳng giác trong $\widehat{ABC}$
Giả sử $BC,CK$ cắt $(APC)$ tại $N$ và $V$
Ta có: $\widehat{BCQ}$ = $\widehat{NAC}$
$\widehat{KCx} = \widehat{ACV}=\widehat{ANV}$
Ta nhận thấy $C$ và $V$ đối xứng với nhau qua trung trực của $AN$
Khi đó: $\widehat{KCx} = \widehat{BCQ}$
$\Rightarrow CQ, CK$ đẳng giác trong $\widehat{ACB}$
$\Rightarrow Q,K$ liên hợp đẳng giác trong $\triangle ABC$
Từ đây: $\Rightarrow AQ, AK$ đẳng giác trong $\widehat{BAC}$ $\Rightarrow AQ$ là đường đối trung của $\triangle ABC$
Tịch tiến $\overrightarrow{PM}$ thành $\overrightarrow{ME}$. Gọi $H$ là điểm liên hợp đẳng giác với $E$ trong $\triangle ABC$
Ta có: $\widehat{HBA}=\widehat{EBC}=\widehat{PCB}=\widehat{PYX}$($\widehat{PCB}=\widehat{PYX}$ do $PXCY$ nội tiếp)
Ta có:$\widehat{BAH} = \widehat{EAC}=\widehat{YCP}=\widehat{PXY}$($\widehat{YCP}=\widehat{PXY}$ do $PXCY$ nội tiếp)
$\Rightarrow\triangle XPY\sim \triangle AHB(g-g)$
$\triangle XPZ\sim \triangle AHC(g-g)$
$\Rightarrow\triangle XYZ \cup {P}\sim \triangle ABC\cup {H}$

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
socialcultural

socialcultural

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ và trung tuyến $AM$. $P$ là điểm bất kì nằm trên $AM$. Tiếp tuyến tại $P$ của $(APB)$ cắt tiếp tuyến tại $C$ của $(APC)$ tại $Q$. Gọi $X, Y, Z$ lần lượt là hình chiếu của $P$ trên $BC, QC, QB$. Chứng minh rằng $AQ$ là đường đối trung của tam giác $ABC$ và $\triangle XYZ\sim \triangle ABC$

Hình gửi kèm

  • Screenshot 2023-06-08 102307.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi socialcultural: 08-06-2023 - 10:26


#2
thinhisthenumber1

thinhisthenumber1

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
✓  Lời giải

Cho tam giác $ABC$ và trung tuyến $AM$. $P$ là điểm bất kì nằm trên $AM$. Tiếp tuyến tại $P$ của $(APB)$ cắt tiếp tuyến tại $C$ của $(APC)$ tại $Q$. Gọi $X, Y, Z$ lần lượt là hình chiếu của $P$ trên $BC, QC, QB$. Chứng minh rằng $AQ$ là đường đối trung của tam giác $ABC$ và $\triangle XYZ\sim \triangle ABC$

Mình xin góp lời giải.
$I$ và $J$ lần lượt là tâm đường trong ngoại tiếp $\triangle APC$ và $\triangle APB$

Dựng điểm $K$ sao cho $\overline{MP}.\overline{MK} = \overline{MB^{2}} \Rightarrow\triangle MBP\sim \triangle MBK\Rightarrow \widehat{KBC}=\widehat{BPA}$
Ta dễ dang CM được:$\widehat{BPA}=\widehat{vBA}=\widehat{QBt}$
$\Rightarrow BQ,BK$ đẳng giác trong $\widehat{ABC}$
Giả sử $BC,CK$ cắt $(APC)$ tại $N$ và $V$
Ta có: $\widehat{BCQ}$ = $\widehat{NAC}$
$\widehat{KCx} = \widehat{ACV}=\widehat{ANV}$
Ta nhận thấy $C$ và $V$ đối xứng với nhau qua trung trực của $AN$
Khi đó: $\widehat{KCx} = \widehat{BCQ}$
$\Rightarrow CQ, CK$ đẳng giác trong $\widehat{ACB}$
$\Rightarrow Q,K$ liên hợp đẳng giác trong $\triangle ABC$
Từ đây: $\Rightarrow AQ, AK$ đẳng giác trong $\widehat{BAC}$ $\Rightarrow AQ$ là đường đối trung của $\triangle ABC$
Tịch tiến $\overrightarrow{PM}$ thành $\overrightarrow{ME}$. Gọi $H$ là điểm liên hợp đẳng giác với $E$ trong $\triangle ABC$
Ta có: $\widehat{HBA}=\widehat{EBC}=\widehat{PCB}=\widehat{PYX}$($\widehat{PCB}=\widehat{PYX}$ do $PXCY$ nội tiếp)
Ta có:$\widehat{BAH} = \widehat{EAC}=\widehat{YCP}=\widehat{PXY}$($\widehat{YCP}=\widehat{PXY}$ do $PXCY$ nội tiếp)
$\Rightarrow\triangle XPY\sim \triangle AHB(g-g)$
$\triangle XPZ\sim \triangle AHC(g-g)$
$\Rightarrow\triangle XYZ \cup {P}\sim \triangle ABC\cup {H}$

Hình gửi kèm

  • Screenshot 2023-06-09 093503.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 09-06-2023 - 12:57
LaTeX: Dấu suy ra là \Rightarrow





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh