Cho các số thực dương x, y, z thay đổi và thoả măn điều kiện x + 9y + 6z = 2023. Tìm giá trị lớn nhất của biếu thức: $P=\sqrt{3x^{2}+63xy+243y^{2}}+\sqrt{243y^{2}+378yz+108z^{2}}+\sqrt{108z^{2}+42zx+3x^{2}}$
Tìm Max $P=\sqrt{3x^{2}+63xy+243y^{2}}+\sqrt{243y^{2}+378yz+108z^{2}}+\sqrt{108z^{2}+42zx+3x^{2}}$
Bắt đầu bởi chcd, 10-06-2023 - 13:48
#2
Đã gửi 10-06-2023 - 16:37
Leonguyen
-
- Thành viên
-
- 160 Bài viết
Trung sĩ
Đặt $x=a,$ $9y=b,$ $6z=c;$ khi đó giá thiết trở thành $a+b+c=1$ biểu thức $P$ có thể viết lại được thành $P=\sum\sqrt{3a^2+7ab+3b^2}.$
Ta có:
$P=\sum\sqrt{3a^2+7ab+3b^2}$ $=\sum\sqrt{\frac{13}{4}(a+b)^2-\frac{1}{4}(a-b)^2}$ $\leq\sum\sqrt{\frac{13}{4}(a+b)^2}$ $=\sum\frac{\sqrt{13}}{2}(a+b)$ $=\sqrt{13}.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ tương đương $x=9y=6z,$ suy ra $x=\frac{1}{3},$ $y=\frac{1}{27},$ $c=\frac{1}{18}.$
Vậy $\max P=\sqrt{13}\Leftrightarrow x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{27},c=\frac{1}{18}.$
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
