Chủ đề này có 4 trả lời

[Nobodyv3]

[Biến tấu 1] Có bao nhiêu cách bỏ 5 bi đỏ, 5 bi xanh, 5 bi vàng vào 3 hộp khác nhau sao cho hộp nào cũng có đủ 3 loại bi, biết rằng các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc.
[Biến tấu 2] Có bao nhiêu cách bỏ 5 bi đỏ, 5 bi xanh, 5 bi vàng vào 3 hộp khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi, biết rằng các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc.

[chanhquocnghiem]

[Biến tấu 1] Có bao nhiêu cách bỏ 5 bi đỏ, 5 bi xanh, 5 bi vàng vào 3 hộp khác nhau sao cho hộp nào cũng có đủ 3 loại bi, biết rằng các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc.

Số cách chính là số bộ nghiệm nguyên dương của hệ $3$ phương trình, $9$ ẩn dưới đây

$\left\{\begin{matrix}d_1+d_2+d_3=5\\x_1+x_2+x_3=5\\v_1+v_2+v_3=5 \end{matrix}\right.$

và bằng $\left ( C_4^2 \right )^3=216$ cách.

[chanhquocnghiem]

[Biến tấu 2] Có bao nhiêu cách bỏ 5 bi đỏ, 5 bi xanh, 5 bi vàng vào 3 hộp khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi, biết rằng các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc.

Thiết lập hàm sinh :

$f(x,y,z)=\left [ (1+x+x^2+...+x^5)(1+y+y^2+...+y^5)(1+z+z^2+...+z^5)-1 \right ]^3$

      $=\left (\frac{1-x^6}{1-x}.\frac{1-y^6}{1-y}.\frac{1-z^6}{1-z}-1 \right )^3=\sum_{k=0}^{3}(-1)^kC_3^k\frac{(1-x^6)^{3-k}}{(1-x)^{3-k}}.\frac{(1-y^6)^{3-k}}{(1-y)^{3-k}}.\frac{(1-z^6)^{3-k}}{(1-z)^{3-k}}$

Số cách là $\left [ x^5y^5z^5 \right ]f(x,y,z)=8616$.
 

[Nobodyv3]

Số cách chính là số bộ nghiệm nguyên dương của hệ $3$ phương trình, $9$ ẩn dưới đây
$\left\{\begin{matrix}d_1+d_2+d_3=5\\x_1+x_2+x_3=5\\v_1+v_2+v_3=5 \end{matrix}\right.$
và bằng $\left ( C_4^2 \right )^3=216$ cách.

Nếu sử dụng hàm sinh (cho trọn bộ) thì ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 11-06-2023 - 22:00

[chanhquocnghiem]

Nếu sử dụng hàm sinh thì ...

$f(x,y,z)=\left [ (x+x^2+...+x^5)(y+y^2+...+y^5)(z+z^2+...+z^5) \right ]^3=$

    $=x^3y^3z^3\left ( \frac{1-x^5}{1-x}.\frac{1-y^5}{1-y}.\frac{1-z^5}{1-z} \right )^3$

Số cách là $\left [ x^5y^5z^5 \right ]f(x,y,z)=216$.