Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm Max $M=xy+xz+xt+yz+yt+3zt$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
chcd

chcd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Cho các sổ thực x, y, z, t thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=1$ . Tìm giả trị lớn nhất của biểu thức

$M=xy+xz+xt+yz+yt+3zt$



#2
truongphat266

truongphat266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Cho các sổ thực x, y, z, t thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=1$ . Tìm giả trị lớn nhất của biểu thức

$M=xy+xz+xt+yz+yt+3zt$

 

Có:$M=ab+(a+b)(c+d)+3cd\leq ab+\frac{\sqrt{5}+1}{4}(a+b)^2+\frac{\sqrt{5}-1}{4}(c+d)^2+3cd$

$\leq \frac{a^2+b^2}{2}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}(a^2+b^2)+\frac{\sqrt{5}-1}{2}(c^2+d^2)+\frac{3}{2}(c^2+d^2)$

$=\frac{\sqrt{5}+2}{2}(a^2+b^2+c^2+d^2)=\frac{\sqrt{5}+2}{2}$

Vậy $Max_M=\frac{\sqrt{5}+2}{2}$ khi $(a^2;b^2;c^2;d^2)=(\frac{5-\sqrt{5}}{20};\frac{5-\sqrt{5}}{20};\frac{5+\sqrt{5}}{20};\frac{5+\sqrt{5}}{20})$

 

Bất đẳng thức sau khó hơn: Cho $a,b,c,d$ là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$P=x^2+y^2+z^2+t^2+xy+xz+xy+yz+yt+zt+x+y+z+t$$

 

Đáp án: $\frac{-2}{5}$

 

Đơn giản hơn: Điều kiện như trên mà đổi thành 3 biến. (Đáp án: $\frac{-3}{8}$)

 

Dọa người khác: Điều kiện như trên mà đổi thành 5 biến. (Đáp án: $\frac{-5}{12}$)

 

Chặt hơn: Cho $a,b,c,d$ dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$T=\frac{(a+b+c+d)^2+1}{2ab+ac+ad+bc+bd}$$

 

Đáp án: $\sqrt{5}-1$

 

Tổng quát: Cho $a_1,a_2,..,a_n$ dương. Chứng minh rằng:

 

$$\sum_{i=1}^{n}(a_i+a_i^2)+\sum_{1\leq p \leq q \leq n}^{a_pa_q}\geq -\frac{n}{2(n+1)}$$

 

Hint: Chứng minh bằng Bunhia! Dấu bằng xảy ra khi: $a_i=- \frac{1}{n+1}$

 

Mạnh hơn: Điều kiện như bài gốc, chứng minh các bất đẳng thức sau:

$$ab+ac+ad+bc+bd+cd \leq 1+8abcd$$

$$ab+ac+ad+bc+bd+cd \leq \frac{3+ 3 \sqrt{3}}{8}+ (18-6 \sqrt{3})abcd$$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truongphat266: 10-08-2023 - 23:53





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh