Chủ đề này có 1 trả lời

[Dennis Nguyen]

Cho $n$ số thực $a_1,a_2,...,a_n$ sao cho $|a_i|\leq 1, i=\overline{1,n}$ và $a_1+a_2+...+a_n=0$. Chứng minh tồn tại $k \in \left \{ 1,2,...,n \right \}$ sao cho: $|a_1+2a_2+3a_3+...+ka_k|\leq \frac{2k+1}{4}$.

$k \in \left \{ 1,2,...,n \right \}$

[chuyenndu]

giả sử không tồn tại k thỏa đề thì $|a_1+2a_2+...+ka_k|>\frac{2k+1}{4}$ với mọi k
đặt $A_k=a_1+2a_2+...+ka_k$, WLOG $A_{n}>0$

nếu $A_{n-1}<0$ thì $|na_{n}|=|A_{n}-A_{n-1}|=A_{n}+|A_{n-1}|>\frac{2n+1}{4}+\frac{2(n-1)+1}{4}=n$ (VL)
vậy $A_{n-1}>0$, tương tự $A_{n-2},...,A_1>0$
$0=a_1+a_2+\dots+a_{n}=A_1+\frac{A_2-A_1}{2}+...+\frac{A_{n}-A_{n-1}}{n}=\frac{A_1}{2}+\frac{A_2}{6}+...+\frac{A_{n-1}}{(n-1)n}+\frac{A_{n}}{n}>0$ (VL)