Chủ đề này có 1 trả lời

[ILikeMath22042001]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm H. Kẻ HN là đường phân giác trong tam giác BHC (N thuộc BC). Qua H kẻ đường thẳng vuông HN cắt AB,AC lần lượt tại D,E. Đường phân giác trong của tam giác ABC cắt (ADE) tại K. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: H,K,M thẳng hàng.

 

Hình gửi kèm

• 

[huytran08]

Kẻ đường cao $BI,CJ$ của $\Delta ABC$;$KD,KE$ cắt $BH,CH$ tại $P,Q$

Do $DE\perp HN$ nên $DE$ là phân giác $\widehat{BHJ}$ và $\widehat{CHI}$ 

Từ đó có $\widehat{ADE}=\widehat{BHD}+\widehat{ABH}=\widehat{CHE}+\widehat{ACH}=\widehat{AED}$ nên $\Delta ADE$ cân tại $A$ suy ra $KD\perp AB$ và $KE\perp AC$

    $\Rightarrow \frac{HP}{BP}=\frac{DJ}{BD}=\frac{HJ}{HB}=\frac{HI}{HC}=\frac{IE}{EC}=\frac{HQ}{QC}$

 Nên $PQ//BC$ suy ra $HM$ đi qua trung điểm $F$ của $PQ$

 Mặt khác dễ chứng minh $HPKQ$ là hình bình hành nên $HK$ đi qua $F$

  Từ đó suy ra $H,K,M$ thẳng hàng(đpcm).

Hình gửi kèm

•