2/ Có bao nhiêu tam giác có chu vi là 300 và các cạnh là số nguyên dương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 15-06-2023 - 18:03
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 15-06-2023 - 18:03
1/ Có bao nhiêu cách bỏ 12n+5 viên bi giống nhau vào 4 hộp khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên và không quá 6n+2 viên bi.
Số cách bỏ $12n+5$ viên bi giống nhau vào $4$ hộp khác nhau (hộp nào cũng có bi) là $M=C_{12n+4}^3$ cách
Trong $M$ cách đó, gọi số cách có một hộp chứa $k$ bi ($6n+3\leqslant k\leqslant 12n+2$) là $N_k$.
+ Bỏ $k$ bi vào một hộp tùy ý : $4$ cách.
+ Bỏ $12n+5-k$ bi vào $3$ hộp còn lại (hộp nào cũng có bi) : $C_{12n+4-k}^2$ cách.
$\Rightarrow N_k=4C_{12n+4-k}^2$ cách.
Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu đề bài là
$M-\sum_{k=6n+3}^{12n+2}N_k=C_{12n+4}^3-4\left ( C_{6n+1}^2+C_{6n}^2+C_{6n-1}^2+...+C_2^2 \right )=C_{12n+4}^3-4C_{6n+2}^3$
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
2/ Có bao nhiêu tam giác có chu vi là 300 và các cạnh là số nguyên dương
Gọi độ dài các cạnh của tam giác là $a,b,c$ ($a\geqslant b\geqslant c$). Ta có $100\leqslant a\leqslant 149$.
$\mathbf{TH1}$ $a$ chẵn ($a=2k$ với $k$ từ $50$ đến $74$)
$b+c=300-2k\Rightarrow 150-k\leqslant b\leqslant 2k\Rightarrow b$ có thể lấy 3k-149 giá trị $\Rightarrow 3k-149$ tam giác
$\textbf{TH2}$ $a$ lẻ ($a=2k+1$ với $k$ từ $50$ đến $74$)
$b+c=299-2k\Rightarrow 150-k\leqslant b\leqslant 2k+1\Rightarrow b$ có thể lấy 3k-148 giá trị $\Rightarrow 3k-148$ tam giác
Vậy đáp án là $\sum_{k=50}^{74}(3k-149)+\sum_{k=50}^{74}(3k-148)=\sum_{k=50}^{74}(6k-297)=6\sum_{k=50}^{74}k-25.297=1875$ tam giác
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Xin tiếp bước để mưu cầu được một kết quả "tường minh" hơn...Số cách bỏ $12n+5$ viên bi giống nhau vào $4$ hộp khác nhau (hộp nào cũng có bi) là $M=C_{12n+4}^3$ cách
Trong $M$ cách đó, gọi số cách có một hộp chứa $k$ bi ($6n+3\leqslant k\leqslant 12n+2$) là $N_k$.
+ Bỏ $k$ bi vào một hộp tùy ý : $4$ cách.
+ Bỏ $12n+5-k$ bi vào $3$ hộp còn lại (hộp nào cũng có bi) : $C_{12n+4-k}^2$ cách.
$\Rightarrow N_k=4C_{12n+4-k}^2$ cách.
Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu đề bài là
$M-\sum_{k=6n+3}^{12n+2}N_k=C_{12n+4}^3-4\left ( C_{6n+1}^2+C_{6n}^2+C_{6n-1}^2+...+C_2^2 \right )=C_{12n+4}^3-4C_{6n+2}^3$
Xin tiếp bước để mưu cầu được một kết quả "tường minh" hơn...
Ta có số nghiệm nguyên dương của phương trình $x_1+x_2+x_3+x_4=12n+5$ $(1)$
là $C_{12n+4}^{3}$.
Số nghiệm nguyên dương của phương trình $x_2+x_3+x_4=12n+5-k$ là $C_{12n+4-k}^{2}$.
Số nghiệm nguyên dương của phương trình $x_3+x_4=12n+5-2k$ là $12n+4-2k$.
Suy ra phương trình $2x_1+x_3+x_4=12n+5$ $(2)$
có $\sum_{k=1}^{6n+1}(12n-2k+4)=2C_{6n+2}^{2}$ nghiệm.
Phương trình $x_1+x_4=12n+5-2k$ có $6n-k+2$ nghiệm.
Phương trình $2x_1+x_4=12n+5-2k-1$ có $6n-k+1$ nghiệm.
Suy ra số nghiệm của $(2)$ sao cho $x_3=k>6n+2$ là :
$$\sum_{3n+2}^{6n+1}(6n-k+2)+\sum_{3n+1}^{6n}(6n-k+1)=2C_{3n+1}^{2}$$
Số nghiệm của $(1)$ sao cho $x_1=x_2$ và $x_i \leq 6n+2$ là $2C_{6n+2}^{2}-4C_{3n+1}^{2}$.
Số nghiệm của $3x_1+x_4=12n+5$ là $4n+1$ và số nghiệm của phương trình này sao cho $x_4>6n+2$ là $2n$.
Cho nên số nghiệm của $3x_1+x_4=12n+5$ sao cho $x_1\leq 6n+2$ và $x_4\leq 6n+2$ là $2n+1$.
Theo nguyên lý bù trừ, số nghiệm của $(1)$ sao cho $x_i$ là các số nguyên dương phân biệt bằng :
$\begin {align*}
\left ( C_{12n+4}^{3}-4C_{3n+3}^{3} \right )-C_{4}^{2}\left ( 2C_{6n+2}^{2}
-4C_{3n+1}^{2} \right )+2C_{4}^{3}(2n+1)
=12n(12n^2+3n-1)
\end{align*}$
Số nghiệm của $(1)$ sao cho có đúng 3 nghiệm nguyên dương phân biệt và bằng :
$C_{4}^{2}\left (2C_{6n+2}^{2}-4C_{3n+1}^{2} \right )-12\left (2n+1 \right )=12n(9n+4)$
Số nghiệm của $(1)$ sao cho có đúng 2 nghiệm nguyên dương phân biệt là $4(2n+1)$.
Vậy số nghiệm cần tính là :
$$\begin {align*}
&\frac {12n(12n^2+3n-1)}{24}\\
&+\frac {12n(9n+4)}{12}+\frac {4(2n+1)}{4}\\
&=\boldsymbol {\frac {(n+1)(12n^2+9n+2)}{2}}
\end {align*}$$
Theo kết quả của bạn, nếu bỏ $17$ viên bi giống nhau vào $4$ hộp khác nhau (hộp nào cũng có bi và không quá $8$ viên) thì chỉ có $23$ cách. Nhưng mình có thể liệt kê ra nhiều hơn, chẳng hạn :
$A$ $B$ $C$ $D$ cách
$1$ $1$ $7$ $8$ 1
$1$ $1$ $8$ $7$ 2
$1$ $2$ $6$ $8$ 3
$1$ $2$ $7$ $7$ 4
$1$ $2$ $8$ $6$ 5
$1$ $3$ $5$ $8$ 6
$1$ $3$ $6$ $7$ 7
$1$ $3$ $7$ $6$ 8
$1$ $3$ $8$ $5$ 9
$1$ $4$ $4$ $8$ 10
$1$ $4$ $5$ $7$ 11
$1$ $4$ $6$ $6$ 12
$1$ $4$ $7$ $5$ 13
$1$ $4$ $8$ $4$ 14
$1$ $5$ $3$ $8$ 15
$1$ $5$ $4$ $7$ 16
$1$ $5$ $5$ $6$ 17
$1$ $5$ $6$ $5$ 18
$1$ $5$ $7$ $4$ 19
$1$ $5$ $8$ $3$ 20
$1$ $6$ $2$ $8$ 21
$1$ $6$ $3$ $7$ 22
$1$ $6$ $4$ $6$ 23
$1$ $6$ $5$ $5$ 24
$1$ $6$ $6$ $4$ 25
$1$ $6$ $7$ $3$ 26
$1$ $6$ $8$ $2$ 27
(và còn rất rất nhiều cách nữa)
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh