Chủ đề này có 5 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Có bao nhiêu cách bỏ 12n+5 viên bi giống nhau vào 4 hộp khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên và không quá 6n+2 viên bi.
2/ Có bao nhiêu tam giác có chu vi là 300 và các cạnh là số nguyên dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 15-06-2023 - 18:03

[chanhquocnghiem]

1/ Có bao nhiêu cách bỏ 12n+5 viên bi giống nhau vào 4 hộp khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên và không quá 6n+2 viên bi.

Số cách bỏ $12n+5$ viên bi giống nhau vào $4$ hộp khác nhau (hộp nào cũng có bi) là $M=C_{12n+4}^3$ cách

Trong $M$ cách đó, gọi số cách có một hộp chứa $k$ bi ($6n+3\leqslant k\leqslant 12n+2$) là $N_k$.

+ Bỏ $k$ bi vào một hộp tùy ý : $4$ cách.

+ Bỏ $12n+5-k$ bi vào $3$ hộp còn lại (hộp nào cũng có bi) : $C_{12n+4-k}^2$ cách.

$\Rightarrow N_k=4C_{12n+4-k}^2$ cách.

Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu đề bài là

$M-\sum_{k=6n+3}^{12n+2}N_k=C_{12n+4}^3-4\left ( C_{6n+1}^2+C_{6n}^2+C_{6n-1}^2+...+C_2^2 \right )=C_{12n+4}^3-4C_{6n+2}^3$

[chanhquocnghiem]

2/ Có bao nhiêu tam giác có chu vi là 300 và các cạnh là số nguyên dương

Gọi độ dài các cạnh của tam giác là $a,b,c$ ($a\geqslant b\geqslant c$). Ta có $100\leqslant a\leqslant 149$.

$\mathbf{TH1}$ $a$ chẵn ($a=2k$ với $k$ từ $50$ đến $74$)

$b+c=300-2k\Rightarrow 150-k\leqslant b\leqslant 2k\Rightarrow b$ có thể lấy 3k-149 giá trị $\Rightarrow 3k-149$ tam giác

$\textbf{TH2}$ $a$ lẻ ($a=2k+1$ với $k$ từ $50$ đến $74$)

$b+c=299-2k\Rightarrow 150-k\leqslant b\leqslant 2k+1\Rightarrow b$ có thể lấy 3k-148 giá trị $\Rightarrow 3k-148$ tam giác

Vậy đáp án là $\sum_{k=50}^{74}(3k-149)+\sum_{k=50}^{74}(3k-148)=\sum_{k=50}^{74}(6k-297)=6\sum_{k=50}^{74}k-25.297=1875$ tam giác

 

[Nobodyv3]

Số cách bỏ $12n+5$ viên bi giống nhau vào $4$ hộp khác nhau (hộp nào cũng có bi) là $M=C_{12n+4}^3$ cách
Trong $M$ cách đó, gọi số cách có một hộp chứa $k$ bi ($6n+3\leqslant k\leqslant 12n+2$) là $N_k$.
+ Bỏ $k$ bi vào một hộp tùy ý : $4$ cách.
+ Bỏ $12n+5-k$ bi vào $3$ hộp còn lại (hộp nào cũng có bi) : $C_{12n+4-k}^2$ cách.
$\Rightarrow N_k=4C_{12n+4-k}^2$ cách.
Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu đề bài là
$M-\sum_{k=6n+3}^{12n+2}N_k=C_{12n+4}^3-4\left ( C_{6n+1}^2+C_{6n}^2+C_{6n-1}^2+...+C_2^2 \right )=C_{12n+4}^3-4C_{6n+2}^3$

Xin tiếp bước để mưu cầu được một kết quả "tường minh" hơn...
Ta có số nghiệm nguyên dương của phương trình $x_1+x_2+x_3+x_4=12n+5$       $(1)$
là $C_{12n+4}^{3}$.
Số nghiệm nguyên dương của phương trình $x_2+x_3+x_4=12n+5-k$ là $C_{12n+4-k}^{2}$.
Số nghiệm nguyên dương của phương trình $x_3+x_4=12n+5-2k$ là $12n+4-2k$.
Suy ra phương trình  $2x_1+x_3+x_4=12n+5$        $(2)$
có $\sum_{k=1}^{6n+1}(12n-2k+4)=2C_{6n+2}^{2}$ nghiệm.
Phương trình $x_1+x_4=12n+5-2k$ có $6n-k+2$ nghiệm.
Phương trình $2x_1+x_4=12n+5-2k-1$ có $6n-k+1$ nghiệm.
Suy ra số nghiệm của $(2)$ sao cho $x_3=k>6n+2$ là :
$$\sum_{3n+2}^{6n+1}(6n-k+2)+\sum_{3n+1}^{6n}(6n-k+1)=2C_{3n+1}^{2}$$
Số nghiệm của $(1)$ sao cho $x_1=x_2$ và $x_i \leq 6n+2$ là $2C_{6n+2}^{2}-4C_{3n+1}^{2}$.
Số nghiệm của $3x_1+x_4=12n+5$ là $4n+1$ và số nghiệm của phương trình này sao cho $x_4>6n+2$ là $2n$.
Cho nên số nghiệm của $3x_1+x_4=12n+5$ sao cho $x_1\leq 6n+2$ và $x_4\leq 6n+2$ là $2n+1$.
Theo nguyên lý bù trừ, số nghiệm của $(1)$ sao cho $x_i$ là các số nguyên dương phân biệt bằng :
$\begin {align*}
\left ( C_{12n+4}^{3}-4C_{3n+3}^{3} \right )-C_{4}^{2}\left ( 2C_{6n+2}^{2}
-4C_{3n+1}^{2} \right )+2C_{4}^{3}(2n+1)
=12n(12n^2+3n-1)
\end{align*}$
Số nghiệm của $(1)$ sao cho có đúng 3 nghiệm nguyên dương phân biệt và bằng :
$C_{4}^{2}\left (2C_{6n+2}^{2}-4C_{3n+1}^{2}  \right )-12\left (2n+1  \right )=12n(9n+4)$
Số nghiệm của $(1)$ sao cho có đúng 2 nghiệm nguyên dương phân biệt là $4(2n+1)$.
Vậy số nghiệm cần tính là :
$$\begin {align*}
&\frac {12n(12n^2+3n-1)}{24}\\
&+\frac {12n(9n+4)}{12}+\frac {4(2n+1)}{4}\\
&=\boldsymbol {\frac {(n+1)(12n^2+9n+2)}{2}}
\end {align*}$$

[chanhquocnghiem]

Xin tiếp bước để mưu cầu được một kết quả "tường minh" hơn...
Ta có số nghiệm nguyên dương của phương trình $x_1+x_2+x_3+x_4=12n+5$       $(1)$
là $C_{12n+4}^{3}$.
Số nghiệm nguyên dương của phương trình $x_2+x_3+x_4=12n+5-k$ là $C_{12n+4-k}^{2}$.
Số nghiệm nguyên dương của phương trình $x_3+x_4=12n+5-2k$ là $12n+4-2k$.
Suy ra phương trình  $2x_1+x_3+x_4=12n+5$        $(2)$
có $\sum_{k=1}^{6n+1}(12n-2k+4)=2C_{6n+2}^{2}$ nghiệm.
Phương trình $x_1+x_4=12n+5-2k$ có $6n-k+2$ nghiệm.
Phương trình $2x_1+x_4=12n+5-2k-1$ có $6n-k+1$ nghiệm.
Suy ra số nghiệm của $(2)$ sao cho $x_3=k>6n+2$ là :
$$\sum_{3n+2}^{6n+1}(6n-k+2)+\sum_{3n+1}^{6n}(6n-k+1)=2C_{3n+1}^{2}$$
Số nghiệm của $(1)$ sao cho $x_1=x_2$ và $x_i \leq 6n+2$ là $2C_{6n+2}^{2}-4C_{3n+1}^{2}$.
Số nghiệm của $3x_1+x_4=12n+5$ là $4n+1$ và số nghiệm của phương trình này sao cho $x_4>6n+2$ là $2n$.
Cho nên số nghiệm của $3x_1+x_4=12n+5$ sao cho $x_1\leq 6n+2$ và $x_4\leq 6n+2$ là $2n+1$.
Theo nguyên lý bù trừ, số nghiệm của $(1)$ sao cho $x_i$ là các số nguyên dương phân biệt bằng :
$\begin {align*}
\left ( C_{12n+4}^{3}-4C_{3n+3}^{3} \right )-C_{4}^{2}\left ( 2C_{6n+2}^{2}
-4C_{3n+1}^{2} \right )+2C_{4}^{3}(2n+1)
=12n(12n^2+3n-1)
\end{align*}$
Số nghiệm của $(1)$ sao cho có đúng 3 nghiệm nguyên dương phân biệt và bằng :
$C_{4}^{2}\left (2C_{6n+2}^{2}-4C_{3n+1}^{2}  \right )-12\left (2n+1  \right )=12n(9n+4)$
Số nghiệm của $(1)$ sao cho có đúng 2 nghiệm nguyên dương phân biệt là $4(2n+1)$.
Vậy số nghiệm cần tính là :
$$\begin {align*}
&\frac {12n(12n^2+3n-1)}{24}\\
&+\frac {12n(9n+4)}{12}+\frac {4(2n+1)}{4}\\
&=\boldsymbol {\frac {(n+1)(12n^2+9n+2)}{2}}
\end {align*}$$

Theo kết quả của bạn, nếu bỏ $17$ viên bi giống nhau vào $4$ hộp khác nhau (hộp nào cũng có bi và không quá $8$ viên) thì chỉ có $23$ cách. Nhưng mình có thể liệt kê ra nhiều hơn, chẳng hạn :

            $A$                $B$                $C$              $D$             cách

            $1$                 $1$                $7$               $8$                1

            $1$                 $1$                $8$               $7$                2

            $1$                 $2$                $6$               $8$                3

            $1$                 $2$                $7$               $7$                4

            $1$                 $2$                $8$               $6$                5

            $1$                 $3$                $5$               $8$                6

            $1$                 $3$                $6$               $7$                7

            $1$                 $3$                $7$               $6$                8

            $1$                 $3$                $8$               $5$                9

            $1$                 $4$                $4$               $8$                10

            $1$                 $4$                $5$               $7$                11

            $1$                 $4$                $6$               $6$                12

            $1$                 $4$                $7$               $5$                13

            $1$                 $4$                $8$               $4$                14

            $1$                 $5$                $3$               $8$                15

            $1$                 $5$                $4$               $7$                16

            $1$                 $5$                $5$               $6$                17

            $1$                 $5$                $6$               $5$                18

            $1$                 $5$                $7$               $4$                19

            $1$                 $5$                $8$               $3$                20

            $1$                 $6$                $2$               $8$                21

            $1$                 $6$                $3$               $7$                22

            $1$                 $6$                $4$               $6$                23

            $1$                 $6$                $5$               $5$                24

            $1$                 $6$                $6$               $4$                25

            $1$                 $6$                $7$               $3$                26

            $1$                 $6$                $8$               $2$                27

         (và còn rất rất nhiều cách nữa)

[Nobodyv3]

@chanhquocnghiem: cám ơn anh.
Với n=1 thì có tới 336 cách.
Em cũng chưa kiểm tra kết quả, vì khối lượng tính toán khá lớn nên có sai sót đâu đó...