Chủ đề này có 3 trả lời

[Nobodyv3]

Không biết post ở đâu cho thích hợp, thôi thì xin phép Mod tạm trú ở đây vậy...
Với $n$ (nguyên dương ) như thế nào thì :
(a) $(x-1)^n-x^n-1\,\vdots\, x^2+x+1$
(b) $(x+1)^n+x^n+1\,\vdots\, x^2+x+1$
(c) $x^{2n}+x^n+1\,\vdots\, x^2+x+1$

[perfectstrong]

Bài này đăng ở box Đa thức bình thường thôi, không cần vào box Tài liệu chuyên đề

[Leonguyen]

(c) Ta sử dụng tính chất: $\boxed{a^n-b^n\,\,\vdots \, a^k-b^k\,\,\forall n=mk\,\,(k,m,n\in\mathbb{N})}$

$\ast$ Với $n=3k$ thì ta có:

$$x^{2n}+x^n+1={x^{6k}} + {x^{3k}} + 1= {x^{6k}} - 2{x^{3k}} + 1 + 3{x^{3k}}= {({x^{3k}} - 1)^2} + 3{x^{3k}}.$$

Mà $(x^{3k} - 1)^2\, \vdots \,x^2+x+1$ còn $3x^{3k}\not{\vdots} \,x^2+x+1$ nên $x^{2n}+x^n+1$ không chia hết cho $x^2 + x + 1.$

$\ast$ Với $n=3k+1$ thì ta có:

$$x^{2n}+x^n+1={x^{6k + 2}} + {x^{3k + 1}} + 1= {x^{6k + 2}} - {x^2} + {x^{3k + 1}} - x + {x^2} + x + 1$$ $$= {x^2}({x^{6k}} - 1) + x({x^{3k}} - 1) + x^2 + x + 1.$$

Mà $x^{6k}-1\,\,\vdots \,x^3-1\,\,\vdots \,x^2+x+1,$ $x^{3k}-1\,\,\vdots \,x^3-1\,\,\vdots \,x^2+x+1$ nên $x^{2n}+x^n+1$ chia hết cho $x^2 + x + 1.$

$\ast$ Với $n=3k+2$ thì ta có:

$$x^{2n}+x^n+1={x^{6k + 4}} + {x^{3k + 2}} + 1= {x^{6k + 4}} - {x^4} + {x^{3k + 2}} - {x^2} + {x^4} + {x^2} + 1$$ $$= {x^4}({x^{6k}} - 1) + {x^2}({x^{3k}} - 1) + {x^4} + {x^2} + 1.$$

Mà $x^{6k}-1, x^{3k}-1, x^4+x^2+1$ đều chia hết cho $x^2+x+1$ nên $x^{2n}+x^n+1$ chia hết cho $x^2 + x + 1.$

Vậy $n=3k+1$ và $n=3k+2$ $(k\in\mathbb{N})$ là các giá trị cần tìm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 20-06-2023 - 07:27

[Nobodyv3]

@Leonguyen tức là với $3\nmid n $ phải không bạn?