Chủ đề này có 7 trả lời

[pro2kb]

Có bao nhiêu tam giác có độ dài 3 cạnh thuộc tập $\textup{M}= \left \{ 1; 2; 3;...; 2019 \right \}$

Mình đã xem lời giải bài này nhưng hơi khó hiểu và ko được tự nhiên cho lắm. Ai có lời giải nào nữa của bài này( hoặc dạng này) thì cho mk tham khảo nhé( càng nhiều càng tốt  )

 

                                    Cảm ơn các tiền bối và các bạn trước

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pro2kb: 19-06-2023 - 21:33

[Nobodyv3]

Có bao nhiêu tam giác có độ dài 3 cạnh thuộc tập $\textup{M}= \left \{ 1; 2; 3;...; 2019 \right \}$
Mình đã xem lời giải bài này nhưng hơi khó hiểu và ko được tự nhiên cho lắm. Ai có lời giải nào nữa của bài này( hoặc dạng này) thì cho mk tham khảo nhé( càng nhiều càng tốt )

Cảm ơn các tiền bối và các bạn trước

- Bạn post bài giải mà bạn đã xem để mọi người tham khảo nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 20-06-2023 - 10:11

[pro2kb]

Lời giải:
G/s tam giác có 3 cạnh ${a}\geq{b}\geq{c}$
Gọi ${S}_{k}$ là số tam giác tm ${a}= {k}\in M$
Theo bđt tam giác:
${b}+{c}> {a}$
$\Rightarrow {a}+1\leq {b}+{c}\leq 2{b}\leq 2{a}$
$\Rightarrow \frac{{a}+1}{2}\leq {b}\leq {a} \quad (1) $
Và ${b}\geq{c}\geq {a}-{b}+1 \quad (2)$
Ta tính ${S}_{2k}$ và ${S}_{2k+1}$
+) Tính ${S}_{2k}$
Từ $(1)\Rightarrow {k}+1\leq {b}\leq 2{k}$
$\Rightarrow {b}\in \left \{ {k}+1;{k}+2;...;2{k} \right \}$
Từ $(2)\Rightarrow$ Số cách chọn $c$ là: ${b}-\left ( {a}-{b}+1 \right )+1=2{b}-{a}=2{b}-2{k}$
$\Rightarrow S_{2k}=\sum_{{b}={k}+1}^{2{k}}\left ( 2{b}-2{k} \right ) =2+4+...+2{k} ={k}\left ( {k}+1 \right )$
+)Tính ${S}_{2k+1}$
Làm tương tự$\Rightarrow{S}_{2k+1} = \left ( {k}+1 \right )^{2}$
$\Rightarrow {S}_{2k}+{S}_{2k+1}$
$= \sum_{k=0}^{1009}\left [ {k}\left ( {k}+1 \right )+\left ( {k}+1 \right )^{2} \right ]$
$= \left ( 1^{2}+2^{2}+...+1009^{2} \right )+\left ( 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+1010^{2} \right )+(1+2+...+1009)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 28-06-2023 - 13:18
LaTeX

[Nobodyv3]

Lời giải:[/size]
G/s tam giác có 3 cạnh $\textup{a}\geq\textup{b}\geq\textup{c}$[/size]
Gọi $\textup{S}_{k}$ là số tam giác tm [/size]$\textup{a}= \textup{k}\in M$[/size]
Theo bđt tam giác:[/size]
$\textup{b}+\textup{c}> \textup{a}$[/size]
=>$\textup{a}+1\leq \textup{b}+\textup{c}\leq 2\textup{b}\leq 2\textup{a}$[/size]
=>$\frac{\textup{a}+1}{2}\leq \textup{b}\leq \textup{a}$ (1)[/size]
Và $\textup{b}\geq\textup{c}\geq \textup{a}-\textup{b}$+1 (2)[/size]
Ta tính [/size]$\textup{S}_{2k}$ và $\textup{S}_{2k+1}$[/size]
+) Tính $\textup{S}_{2k}$[/size]
Từ (1)=>[/size]$\textup{k}+1\leq \textup{b}\leq 2\textup{k}$[/size]
=>$\textup{b}\in \left \{ \textup{k}+1;\textup{k}+2;...;2\textup{k} \right \}$[/size]
Từ (2)=> Số cách chọn c là: $\textup{b}-\left ( \textup{a}-\textup{b}+1 \right )+1=2\textup{b}-\textup{a}=2\textup{b}-2\textup{k}$[/size]
=>$S_{2k}=\sum_{\textup{b}=\textup{k}+1}^{2\textup{k}}\left ( 2\textup{b}-2\textup{k} \right )$[/size]
=$2+4+...+2\textup{k} =\textup{k}\left ( \textup{k}+1 \right )$[/size]
+)Tính [/size]$\textup{S}_{2k+1}$
Làm tương tự=>$\textup{S}_{2k+1}$=$$\left ( \textup{k}+1 \right )^{2}$
=>$\textup{S}_{2k}$+$\textup{S}_{2k+1}$
=$\sum_{k=0}^{1009}\left [ \textup{k}\left ( \textup{k}+1 \right )+\left ( \textup{k}+1 \right )^{2} \right ]$
=$\left ( 1^{2}+2^{2}+...+1009^{2} \right )+\left ( 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+1010^{2} \right )+(1+2+...+1009)$

Bó tay! Lời giải này cho kết quả là $$S_{2k}+S_{2k+1}=687277315$$
- Merci beaucoup, M.Perfectstrong.
===========
Số tam giác :$$\begin {align*}
f(x)&=\frac {x^3}{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}\\
\Rightarrow [x^{2019}]f(x)&=\boldsymbol {85177}
\end {align*}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 28-06-2023 - 20:19

[Nobodyv3]

Số tam giác :$$\begin {align*}
f(x)&=\frac {x^3}{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}\\
\Rightarrow [x^{2019}]f(x)&=\boldsymbol {85177}
\end {align*}$$

Trả lời câu hỏi " Rút hệ số bằng tay ( không sử dụng máy tính) được không? " mình xin khẳng định là "Được! Cụ thể bài này, ta có thể tính toán mà không cần nhờ đến Wolfram Alpha hoặc một hệ thống CAS nào khác, thí dụ như Mathematica, Sage,...chẳng hạn. " và mình đã thực hiện như sau :
$$\begin {align*}[x^{2019}]f(x)&=[x^{2016}]\frac{1}{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}\\
&=[x^{2016}] \frac{A}{(1-x^{12})^3}\\
&=[x^{2016}]A\sum_{k\geq 0}\binom{k+2}{2}x^{12k}
\end {align*}$$ trong đó $$A=\left ( 1+x^2+...+x^{10} \right )\left ( 1+x^3+...+x^9 \right )\left ( 1+x^4+x^8 \right )$$ Để ý là $$2016=168\cdot12+0=167\cdot12+12=166\cdot12+24$$ nên ta tính hệ số của $x^0,x^{12},x^{24}$ trong $A$ và dễ dàng tìm được $1x^0,4x^{12},1x^{24}$. Do đó :$$\begin {align*}
\Longrightarrow &\;[x^{2016}]\left ( x^0+4x^{12}+x^{24} \right )\sum_{k\geq 0}\binom{k+2}{2}x^{12k}\\
&=\left ( [x^{2016}]+4[x^{2004}]+[x^{1992}] \right )\sum_{k\geq 0}\binom{k+2}{2}x^{12k}\\
&=\binom{168+2}{2}+4\binom{167+2}{2}+\binom{166+2}{2}\\
&=14365+4\cdot14196+14028\\
&=\boldsymbol {85177}
\end {align*}$$Bạn có thể dùng một trong các hệ thống CAS trên để làm sanity check kết quả này.
C'est tout!.That's it !.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 29-06-2023 - 07:52

[chanhquocnghiem]

Mình nghĩ lời giải đầu tiên là đúng rồi. Và đáp án là $687377215$ tam giác.

----------------------------------------------

Gọi 3 cạnh tam giác là $a,b,c$ ($a\geqslant b\geqslant c$)

Thử tính riêng số tam giác có $a=2019$ (ký hiệu là $S_{2019}$

Dễ thấy $b$ chỉ có thể từ $1010$ đến $2019$ :

- Nếu $b=1010$ thì $c$ chỉ có thể là $1010$ ($1$ giá trị)

- Nếu $b=1011$ thì $c$ chỉ có thể từ $1009$ đến $1011$ ($3$ giá trị)

- Nếu $b=1012$ thì $c$ chỉ có thể từ $1008$ đến $1012$ ($5$ giá trị)

- .............................................................

- Nếu $b=2019$ thì $c$ chỉ có thể từ $1$ đến $2019$ ($2019$ giá trị)

$\Rightarrow S_{2019}=1+3+5+...+2019=1010^2=1020100$ tam giác.

[Nobodyv3]

@chanhquocnghiem: em bó tay vì bạn ấy đánh máy lỗi quá không xem được, đã vậy còn không tính kết quả luôn!
Còn bài em làm là 1 biến thể của bài OP.

[Nobodyv3]

Có bao nhiêu tam giác có độ dài 3 cạnh thuộc tập $\textup{M}= \left \{ 1; 2; 3;...; 2019 \right \}$
Mình đã xem lời giải bài này nhưng hơi khó hiểu và ko được tự nhiên cho lắm. Ai có lời giải nào nữa của bài này( hoặc dạng này) thì cho mk tham khảo nhé( càng nhiều càng tốt  )
 
                                    Cảm ơn các tiền bối và các bạn trước

Cách khác, dùng hàm sinh nhé :
Ta có hàm sinh cho số các tam giác tạo thành là :$$ f(x)=\frac {1}{(1-x)^4(1+x)} $$và với sự trợ giúp của WA, ta có số tam giác là :$$ [x^{2018}]f(x)=\boldsymbol {687377215 }$$
N.B.: ta tính hệ số của $x^{k=n-1}$ vì $k$ bắt đầu chạy từ 0.