+, Nhận thấy nếu lấy $B'$ đối xứng $B$ qua $D$ và $G \in AB': HG // AC$ thì $CF, DE, BG$ cũng đồng quy và ta sẽ có 4 đường đồng quy $CF, DE, AK, BG$
Giờ ta chứng minh $CF, DE, BG$ đồng quy, để chứng minh $CF, DE, AK$ đồng quy làm tương tự (mình chọn $BG$ vì thấy dễ nhìn hơn so với $AK$).
+, Gọi $I$ là giao của $CF$ và $DE$, ta sẽ chứng minh $B, I, G$ thẳng hàng.
+, Có $\frac{HG}{BC}=\frac{HG}{DB'}.\frac{DB'}{BC}=\frac{AH}{AD}.\frac{BD}{BC}=\frac{AH}{BC}.\frac{FH}{FA}=\frac{AH}{FA}.\frac{FH}{FC}.\frac{FC}{BC}=\frac{BC}{FC}.\frac{FH}{FC}.\frac{FC}{BC}=\frac{FH}{FC}$ $(1)$
Bằng các tứ giác nội tiếp dễ chứng minh $DH$ và $DC$ là phân giác trong và ngoài của góc $\widehat{FDI}$ nên theo định lý đường phân giác có:
$\frac{HF}{HI}=\frac{CF}{CI}=\frac{DF}{DI} \Rightarrow \frac{HF}{CF}=\frac{HI}{CI}$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow \frac{HG}{BC}=\frac{HI}{CI}$ nên theo định lý $Thales$ đảo có $B, I, G$ thẳng hàng, suy ra $CF, DE, BG$ đồng quy.