2 replies to this topic

[Duc3290]

Cho $\Delta ABC$  nhọn(AB<BC<CA). Các đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H. Lấy điểm A' sao cho E là trung điểm AA'. Từ H kẻ đường thẳng song song với AC cắt BA' tại K. Chứng minh rằng: các đường thẳng AK,CF,DE đồng quy.

Edited by Duc3290, 20-06-2023 - 16:44.

[Duc3290]

Edited by Duc3290, 20-06-2023 - 17:09.

[William Nguyen]

+, Nhận thấy nếu lấy $B'$ đối xứng $B$ qua $D$ và $G \in AB': HG // AC$ thì $CF, DE, BG$ cũng đồng quy và ta sẽ có 4 đường đồng quy $CF, DE, AK, BG$

    Giờ ta chứng minh $CF, DE, BG$ đồng quy, để chứng minh $CF, DE, AK$ đồng quy làm tương tự (mình chọn $BG$ vì thấy dễ nhìn hơn so với $AK$).

 

+, Gọi $I$ là giao của $CF$ và $DE$, ta sẽ chứng minh $B, I, G$ thẳng hàng.

 

+, Có $\frac{HG}{BC}=\frac{HG}{DB'}.\frac{DB'}{BC}=\frac{AH}{AD}.\frac{BD}{BC}=\frac{AH}{BC}.\frac{FH}{FA}=\frac{AH}{FA}.\frac{FH}{FC}.\frac{FC}{BC}=\frac{BC}{FC}.\frac{FH}{FC}.\frac{FC}{BC}=\frac{FH}{FC}$           $(1)$

 

    Bằng các tứ giác nội tiếp dễ chứng minh $DH$ và $DC$ là phân giác trong và ngoài của góc $\widehat{FDI}$ nên theo định lý đường phân giác có:

 

$\frac{HF}{HI}=\frac{CF}{CI}=\frac{DF}{DI} \Rightarrow \frac{HF}{CF}=\frac{HI}{CI}$                 $(2)$

   

    Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow \frac{HG}{BC}=\frac{HI}{CI}$ nên theo định lý $Thales$ đảo có $B, I, G$ thẳng hàng, suy ra $CF, DE, BG$ đồng quy.

 

Attached Images

•