2/ Gọi $T(n,m)$ là số cách bỏ n viên bi khác nhau vào m hộp khác nhau sao cho hộp nào cũng có bi. Hãy dùng hàm sinh thiết lập công thức tính $T(n,m)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 22-06-2023 - 08:48
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 22-06-2023 - 08:48
1/ Có bao nhiêu xâu n chữ số lập từ $ \left \{0,1,2,3 \right \}$ sao cho tổng số các chữ số 0 và số các chữ số 1 là bội số của 4.
Với mỗi $k$ ($0\leqslant k\leqslant \frac{n}{4}$) :
- Chọn $4k$ vị trí trong số $n$ vị trí : Có $C_n^{4k}$ cách.
- Mỗi vị trí (trong $4k$ vị trí đã chọn) điền chữ số $0$ hoặc $1$ : Có $2^{4k}$ cách.
- Mỗi vị trí còn lại điền chữ số $2$ hoặc $3$ : Có $2^{n-4k}$ cách.
$\Rightarrow$ Số xâu thỏa mãn yêu cầu đề bài là
$a_n=(C_n^0+C_n^4+C_n^8+...).2^{4k}.2^{n-4k}=2^n\sum C_n^{4k}$
Biết rằng
$\frac{\sum C_n^{4k}}{2^n}=\left\{\begin{matrix} \frac{2^{2k-1}+(-1)^k}{2^{2k+1}} && n\in \left \{ 4k-1;4k \right \},k\neq 0\\ \frac {2^{2k}+(-1)^k}{2^{2k+2}}&&n=4k+1\\ \frac{1}{4}&&n=4k+2\\ 1&&n=0\end{matrix}\right.$
Suy ra
$a_n=\left\{\begin{matrix} 2^{6k-3}\left [ 2^{2k-1}+(-1)^k \right ] && n=4k-1,k\neq 0\\ 2^{6k-1}\left [ 2^{2k-1}+(-1)^k \right ]&&n=4k,k\neq 0\\2^{6k}\left [ 2^{2k}+(-1)^k \right ]&&n=4k+1\\2^{8k+2}&&n=4k+2\\1&&n=0 \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 22-06-2023 - 15:25
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
- Lời giải chân phương. Thank you.
Nhân đây, cho em hỏi : $k$ là số nguyên không âm hay là số nguyên dương? Vì theo kết luận của anh thì :
- Nếu $k$ nguyên không âm: thì trường hợp $n=4k-1=-1$ khi $k=0 $
- Nếu $k$ nguyên dương :thì không có trường hợp $n=0,1,2$ .
$k$ là số nguyên, xác định theo $n$. Với mỗi $n\neq 0$ chỉ xác định được $1$ giá trị $k$ duy nhất. Thế thôi !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 22-06-2023 - 15:20
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 22-06-2023 - 18:34
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh