Chủ đề này có 5 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Có bao nhiêu xâu n chữ số lập từ $ \left \{0,1,2,3 \right \}$ sao cho tổng số các chữ số 0 và số các chữ số 1 là bội số của 4.
2/ Gọi $T(n,m)$ là số cách bỏ n viên bi khác nhau vào m hộp khác nhau sao cho hộp nào cũng có bi. Hãy dùng hàm sinh thiết lập công thức tính $T(n,m)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 22-06-2023 - 08:48

[chanhquocnghiem]

1/ Có bao nhiêu xâu n chữ số lập từ $  \left \{0,1,2,3  \right \}$ sao cho tổng số các chữ số 0 và số các chữ số 1 là bội số của 4.

Với mỗi $k$ ($0\leqslant k\leqslant \frac{n}{4}$) :

- Chọn $4k$ vị trí trong số $n$ vị trí : Có $C_n^{4k}$ cách.

- Mỗi vị trí (trong $4k$ vị trí đã chọn) điền chữ số $0$ hoặc $1$ : Có $2^{4k}$ cách.

- Mỗi vị trí còn lại điền chữ số $2$ hoặc $3$ : Có $2^{n-4k}$ cách.

$\Rightarrow$ Số xâu thỏa mãn yêu cầu đề bài là

$a_n=(C_n^0+C_n^4+C_n^8+...).2^{4k}.2^{n-4k}=2^n\sum C_n^{4k}$

Biết rằng

$\frac{\sum C_n^{4k}}{2^n}=\left\{\begin{matrix} \frac{2^{2k-1}+(-1)^k}{2^{2k+1}} && n\in \left \{ 4k-1;4k \right \},k\neq 0\\ \frac {2^{2k}+(-1)^k}{2^{2k+2}}&&n=4k+1\\ \frac{1}{4}&&n=4k+2\\ 1&&n=0\end{matrix}\right.$

Suy ra

$a_n=\left\{\begin{matrix} 2^{6k-3}\left [ 2^{2k-1}+(-1)^k \right ] && n=4k-1,k\neq 0\\ 2^{6k-1}\left [ 2^{2k-1}+(-1)^k \right ]&&n=4k,k\neq 0\\2^{6k}\left [ 2^{2k}+(-1)^k \right ]&&n=4k+1\\2^{8k+2}&&n=4k+2\\1&&n=0 \end{matrix}\right.$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 22-06-2023 - 15:25

[Nobodyv3]

- Lời giải chân phương. Thank you.
Nhân đây, cho em hỏi : $k$ là số nguyên không âm hay là số nguyên dương? Vì theo kết luận của anh thì :
- Nếu $k$ nguyên không âm: thì trường hợp $n=4k-1=-1$ khi $k=0 $
- Nếu $k$ nguyên dương :thì không có trường hợp $n=0,1,2$ .

[chanhquocnghiem]

- Lời giải chân phương. Thank you.
Nhân đây, cho em hỏi : $k$ là số nguyên không âm hay là số nguyên dương? Vì theo kết luận của anh thì :
- Nếu $k$ nguyên không âm: thì trường hợp $n=4k-1=-1$ khi $k=0 $
- Nếu $k$ nguyên dương :thì không có trường hợp $n=0,1,2$ .

$k$ là số nguyên, xác định theo $n$. Với mỗi $n\neq 0$ chỉ xác định được $1$ giá trị $k$ duy nhất. Thế thôi !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 22-06-2023 - 15:20

[Nobodyv3]

1/ Không xét đến ràng buộc thì hàm sinh cho chữ số 0 và chữ số 1 là $\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!}+... \right )^2=e^{2x}$. Ngoài ra, ta biết phương trình $z^4-1=0$ có các nghiệm là $\pm 1,\,\pm i$, do đó kết hợp với định lý RUF ta có hàm sinh cho số các xâu thỏa yêu cầu là :$$\begin {align*}
f(x)&=\frac {e^{2x}+e^{2ix}+e^{-2x}+e^{-2ix}}{4}e^{2x}\\
&=\frac {1}{4}\left ( e^{4x}+e^{(1+i)2x}+e^{(1-i)2x}+1 \right )\\
&=\frac {1}{4}\sum_{n\geq0}\left ( 4^n+2^n\left [ (1+i)^n+(1-i)^n \right ] \right )\frac {x^n}{n!} +\frac {1}{4}\\
&=\frac{1}{4}\sum_{n\geq 1}\left ( 4^n+2^n\left [ (1+i)^n+(1-i)^n \right ] \right )\frac {x^n}{n!} +1
\end {align*}$$Suy ra số các xâu thỏa yêu cầu là :$$\boldsymbol {a_n= \frac{ 4^n+2^n\left [ (1+i)^n+(1-i)^n \right ] }{4} }\qquad (n=1,2,...)$$
Ghi chú : Để ý là $$(1+i)^2=2i,\, (1-i)^2=-2i,\, (1+i)^4=(1-i)^4=-4$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 22-06-2023 - 18:34

[Nobodyv3]

2/ Ta thấy rằng hệ số của $x^n$ trong khai triển $ \left ( x+\frac {x^2}{2!}+ \frac {x^3}{3!}+... \right )^m $ là $\sum_{n_1,n_2,...,n_m >0 \atop n_1+n_2+...+n_m=n }\frac {1}{n_1!n_2!...n_m! }$. Do đó hàm sinh cho $T(n,m)$ là :
$$\begin {align*}
\sum _{n=m}^{\infty} \frac {T(n,m)}{n!}x^n&=\left ( x+\frac {x^2}{2!}+ \frac {x^3}{3!}+... \right )^m\\
&=(e^x-1)^m\\
&=e^{mx}-\binom{m}{1}e^{(m-1)x}+\binom{m}{2}e^{(m-2)x}-...+(-1)^{m-1}\binom{m}{m-1}e^{x}+(-1)^m
\end{align*}$$
Suy ra :
$$\boldsymbol {T(n,m)=m^n-\binom{m}{1}(m-1)^n+ \binom{m}{2}(m-2)^n-...+(-1)^{m-1}\binom{m}{m-1} }$$