Cho $\Delta{ABC}$ ngoại tiếp $(I)$, $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, điểm $H$ thuộc đường thẳng $AI$ sao cho $MH=MD$ ($H$ nằm trong $\Delta{ABC}$) . CMR $E,H,D$ thẳng hàng
Hình gửi kèm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kograysus: 22-06-2023 - 13:39
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! $$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$ I'm still there everywhere.
Tiếp theo, ta chứng minh $MH \parallel AC$. Trước hết, ta có cặp góc:
$\angle IHE = 90^o-\angle BHD = 90^o - \angle BID = \angle IBD$
$\angle IEH = \angle ECI = \angle ICB$
Nên $\Delta IHE \sim \Delta IBC (g.g)$.
Vì vậy $ \frac{HE}{BC}=\frac{IB}{IC} \Rightarrow HE = BC \frac{IE}{IC} = BC \sin ACI$
$\Rightarrow \frac{HE}{DE} = \frac{BC \sin ACI}{2 DC \sin ICD} = \frac{MC}{DC} \Rightarrow MH \parallel EC$.
Từ đây, ta có $ \angle MHD = \angle CED = \angle MDH \Rightarrow MD = MH$.
Sau khi có $D, H, E$ thẳng hàng, ta có thể chứng minh $MH = MD$ gọn hơn như sau:
Gọi $N$ là trung điểm $BI \Rightarrow MN // IC \Rightarrow MN \perp DE$ hay $MN \perp DH$
Lại có $NH = ND$ nên $MN$ là đường trung trực đoạn $HD$ và do đó $MH = MD$