Chủ đề này có 12 trả lời

[nhancccp]

Bài 1: Cho các số thực $a, b, c$ dương. CMR:$\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+\frac{(c+a-b)^2}{(a+b)^2+c^2}+\frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}\geq \frac{3}{5}$

(Nhật Bản 1997)

Bài 2: Cho các số thực $x;y;z$ thoả mãn $x+y+z=12$.CMR:$x^4+y^4+z^4\geq 4(x^3+y^3+z^3)$

 

(may em bi loi telex nen cac anh/chi cac ban thong cam) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 23-06-2023 - 19:29
Gõ tiếng Việt không dấu

[thanhng2k7]

Bài 1 :

Với $a,b,c>0$ thì , chuẩn hóa $a+b+c=3$.

Ta có : 

$\sum_{cyc}\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}=\sum_{cyc}\frac{(3-a)^2}{2a^2-6a+9}$

Ta chứng minh $\frac{(3-a)^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{-18}{25}(a-1)+\frac{1}{5}$

$\Leftrightarrow \frac{(18a+27)(2a^2-6a+9)-225}{2a^2-6a+9}\geq 0$ (luôn đúng).

Vậy đpcm , dấu "=" tại $a=b=c$.

P/s: Giải hơi tắt , có gì mn thông cảm =))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 22-06-2023 - 17:49

[socialcultural]

 

bai 2:Cho cac so thuc $x;y;z$ thoa man $x+y+z=12$.CMR:$a^4+b^4+c^4\geq 4(a^3+b^3+c^3)$

may em bi loi telex nen cac anh/chi cac ban thong cam

bài 2 đề lạ quá

[HungCS]

Bài 1 :

Với $a,b,c>0$ thì , chuẩn hóa $a+b+c=3$.

Ta có : 

$\sum_{cyc}\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}=\sum_{cyc}\frac{(3-a)^2}{2a^2-6a+9}$

Ta chứng minh $\frac{(3-a)^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{-18}{25}(a-1)+\frac{1}{5}$

$\Leftrightarrow \frac{(18a+27)(2a^2-6a+9)-225}{2a^2-6a+9}\geq 0$ (luôn đúng).

Vậy đpcm , dấu "=" tại $a=b=c$.

P/s: Giải hơi tắt , có gì mn thông cảm =))

phần đầu là: (b+c-a)²=(3-2a)² chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungCS: 22-06-2023 - 22:09

[William Nguyen]

Bài 2.

Đề có lẽ là cho các số thực $x, y, z: x+y+z=12$, cmr: $x^4+y^4+z^4 \geq 4.\left(x^3+y^3+z^3\right)$

 

Ta có $x^4-4x^3-64x+256 = (x-4)^2.\left(x^2+4x+16\right) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = 4$

Tương tự, ta có

     $x^4+y^4+z^4-4.\left(x^3+y^3+z^3\right)-64(x+y+z)+768 \geq 0$

$\Rightarrow x^4+y^4+z^4 \geq 4.\left(x^3+y^3+z^3\right)+64(x+y+z)-768 = 4.\left(x^3+y^3+z^3\right)$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=z=4\\ x+y+z=12 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=z=4$

Ta có đpcm.

[HungCS]

bài 2 

Ta có

$\sum a^{3}(a-4)-64(a-4)\geq 0$

$\sum (a-4)^{2}(a^{2}+4a+16)\geq 0$

mà $(a-4)^{2}(a^{2}+4a+16)\geq 0$

=> đpcm

dấu "=" xảy ra khi a=b=c=4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungCS: 22-06-2023 - 22:33

[nhancccp]

bài 2 đề lạ quá

da em nham a

[nhancccp]

bai 3:cho $a,b,c> 0$ thoa man $a+b+c+ab+bc+ac=6abc$. 

CMR:$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3$

hinh nhu bai nay su dung bdt AM-GM va schwarz phai khong anh chi,em cam on a

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhancccp: 23-06-2023 - 15:56

[William Nguyen]

Lời giải

bai 3:cho $a,b,c> 0$ thoa man $a+b+c+ab+bc+ac=6abc$. 

CMR:$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3$

hinh nhu bai nay su dung bdt AM-GM va schwarz phai khong anh chi,em cam on a

 

+, Từ giả thiết chia 2 vế cho $abc$ rồi đặt $\frac{1}{a}=x, \frac{1}{b}=y, \frac{1}{c}=z$ ta có:

$x+y+z+xy+yz+zx = 6$      $(*)$

 

+, Ta cần chứng minh $T = x^2+y^2+z^2 \geq 3$

    Áp dụng $(x+y+z)^2 \leq 3\left(x^2+y^2+z^2\right) = 3T$

             và  $xy+yz+zx \leq x^2+y^2+z^2 = T$

    ta có $(*) \Rightarrow \sqrt{3T} + T \geq 6$

$\Rightarrow \sqrt{T} \geq \sqrt{3}$

$\Rightarrow T \geq 3$ (đpcm)

[HaiDangPham]

+, Từ giả thiết chia 2 vế cho $abc$ rồi đặt $\frac{1}{a}=x, \frac{1}{b}=y, \frac{1}{c}=z$ ta có:

$x+y+z+xy+yz+zx = 6$      $(*)$

 

+, Ta cần chứng minh $T = x^2+y^2+z^2 \geq 3$

    Áp dụng $(x+y+z)^2 \leq 3\left(x^2+y^2+z^2\right) = 3T$

             và  $xy+yz+zx \leq x^2+y^2+z^2 = T$

    ta có $(*) \Rightarrow \sqrt{3T} + T \geq 6$

$\Rightarrow \sqrt{T} \geq \sqrt{3}$

$\Rightarrow T \geq 3$ (đpcm)

 

 

Ta có thể chứng minh thông qua một bất đẳng thức chặt hơn là $x+y+z \geq 3$. 

 

Thật vậy, đặt $S=x+y+z$. Ta có 

$xy+yz+xz \leq \frac{S^2}{3} \leq x^2+y^2+z^2$ 

Vì $xy+yz+xz \leq \frac{S^2}{3}$ nên 

$S+\frac{S^2}{3} \geq 6$

hay 

$(S-3)(S+6)\geq 0$ 

Vì $S+6>0$ nên ta phải có $S\geq 3$. 

 

Do đó 

$x^2+y^2+z^2 \geq \frac{S^2}{3} \geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 23-06-2023 - 22:18

[nhancccp]

cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c\geq 6$.Tìm min $M=\frac{1}{6}(19 a+22 b+25 c)+2\left(\frac{5}{a}+\frac{6}{b}+\frac{7}{c}\right)$

(trích đề chuyên toán tỉnh Tay Ninh 2023-2024)

[huytran08]

cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c\geq 6$.Tìm min $M=\frac{1}{6}(19 a+22 b+25 c)+2\left(\frac{5}{a}+\frac{6}{b}+\frac{7}{c}\right)$

(trích đề chuyên toán tỉnh Tay Ninh 2023-2024)

$Cauchy$ ghép cặp hợp lí là ra mà

[nhancccp]

$Cauchy$ ghép cặp hợp lí là ra mà

dạ cảm ơn anh,em quên cauchy luôn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhancccp: 29-06-2023 - 09:27