Chủ đề này có 2 trả lời

[Sangnguyen3]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại K. Gọi trực tâm tam giác ABC là H . M là trung điểm BC . Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt AM tại  N . Chứng minh KA=KN

[huytran08]

Kẻ đường cao $AD,BE$ của $\Delta ABC$

Dễ thấy các tứ giác $DHNM$ và $DHEC$ nội tiếp nên $AN.AM=AH.AD=AE.AC$ suy ra $MNEC$ nội tiếp

  $\Rightarrow \widehat{MNC}=\widehat{MEC}=\widehat{MCA}$ nên $\Delta MNC\sim \Delta MCA(g.g)$

 

Từ đó ta có: $\frac{NC}{AC}=\frac{MN}{MC}=\frac{MN}{MB}=\frac{NB}{AB}\Rightarrow \frac{NB}{NC}=\frac{AB}{AC}$

 

Đồng thời $\widehat{BNC}=\widehat{BNM}+\widehat{MNC}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^{o}-\widehat{BAC}$ nên nếu ta gọi $S$ đối xứng $N$ qua $BC$ thì $ABSC$ nội tiếp và $\frac{SB}{SC}=\frac{NB}{NC}=\frac{AB}{AC}$ suy ra $ABSC$ là tứ giác điều hoà

 $\Rightarrow KA=KS=KN$(đpcm)

 

 

Mở rộng:Kẻ $KN$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$;$R$ là tâm $(APQ)$.Chứng minh $(PQR)$ tiếp xúc $(O)$

Hình gửi kèm

• 

[kograysus]

Gọi $I$ là trung điểm của $AH$, kẻ đường kính $AX$

Ta có $BH \perp AC$, $CX \perp AC$ nên $BH//CX$

Chứng minh tương tự thu được $CH//BX$

$\Rightarrow BHCX$ là hình bình hành $\Rightarrow  H,M,X$ thẳng hàng và

$M$ là trung điểm $HX$

$\Rightarrow IM//AX \Rightarrow IM \perp AK$

lại có $AI \perp KM \Rightarrow I$ là trực tâm $\Delta AKM$

$\Rightarrow KI \perp AN$, 

Mặt khác có được $AI=IN$ $\Rightarrow KI$ là trung trực $AN$

nên $KA=KN$

Hình gửi kèm

•