Chủ đề này có 10 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Có bao nhiêu số có 6 chữ số trong đó bất kỳ chữ số chẵn 0,2,4,6,8 xuất hiện thì sẽ xuất hiện số chẵn lần, còn bất kỳ chữ số lẻ 1,3,5,7,9 xuất hiện thì sẽ xuất hiện số lẻ lần ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 26-06-2023 - 10:57

[chanhquocnghiem]

1/ Có bao nhiêu số có 6 chữ số trong đó bất kỳ chữ số chẵn 0,2,4,6,8 xuất hiện số chẵn lần, còn bất kỳ chữ số lẻ 1,3,5,7,9 xuất hiện số lẻ lần ?

Cách 1 :

Gọi số chữ số chẵn là $p$, số chữ số lẻ là $q$.

Dễ thấy rằng $p$ chẵn, $q$ lẻ  $(1)$

Mặt khác $p+q=6$         $(2)$

$(1)$ và $(2)$ mâu thuẫn với nhau $\Rightarrow$ không có số nào thỏa mãn điều kiện đề bài.

---------------------------------------------

Cách 2 :

Gọi $S_n$ là số số có $n$ chữ số trong đó bất kỳ chữ số chẵn nào cũng xuất hiện chẵn lần và bất kỳ chữ số lẻ nào cũng xuất hiện lẻ lần (ta cần tìm $S_6$)

      $X_n$ là số xâu kích thước $n$ lập từ $\left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$ sao cho bất kỳ chữ số chẵn nào cũng xuất hiện chẵn lần và bất kỳ chữ số lẻ nào cũng xuất hiện lẻ lần.

Trước hết ta tính $X_n$

Ta có hàm sinh :

$f(x)=\frac{(e^x+e^{-x})^5}{2^5}.\frac{(e^x-e^{-x})^5}{2^5}=\frac{(e^{2x}-e^{-2x})^5}{2^{10}}$

       $=\frac{1}{2^{10}}\sum_{k=0}^{\infty}\left [ 10^n-5.6^n+10.2^n-10.(-2)^n+5.(-6)^n-(-10)^n \right ]\frac{x^n}{n!}$

$\Rightarrow X_6=\frac{1}{2^{10}}\left [ 10^6-5.6^6+10.2^6-10.(-2)^6+5.(-6)^6-(-10)^6 \right ]=0$

Mà $S_6\leqslant X_6\Rightarrow S_6=0$.

 

[Nobodyv3]

Nhiều chứ anh! Chẳng hạn, các số sau (và các hoán vị của chúng) là hợp lệ :
135766, 777333, 242488, 599999,490740,..v.v...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 26-06-2023 - 09:27

[chanhquocnghiem]

Nhiều chứ anh! Chẳng hạn, các số sau (và các hoán vị của chúng) là hợp lệ :
135766, 777333, 242488, 599999,490740,..v.v...

"...bất kỳ chữ số lẻ 1,3,5,7,9 xuất hiện số lẻ lần"

Vậy trong số 135766, chữ số 9 xuất hiện $0$ lần $\rightarrow$ không hợp lệ.

       trong số 777333, các chữ số 1,5,9 xuất hiện $0$ lần $\rightarrow$ không hợp lệ.

       trong số 599999, các chữ số 1,3,7 xuất hiện $0$ lần $\rightarrow$ không hợp lệ.

       v.v...

      
 

[Nobodyv3]

"...bất kỳ chữ số lẻ 1,3,5,7,9 xuất hiện số lẻ lần"
Vậy trong số 135766, chữ số 9 xuất hiện $0$ lần $\rightarrow$ không hợp lệ.
trong số 777333, các chữ số 1,5,9 xuất hiện $0$ lần $\rightarrow$ không hợp lệ.
trong số 599999, các chữ số 1,3,7 xuất hiện $0$ lần $\rightarrow$ không hợp lệ.
v.v...

-Trong số 135766: chữ số 9 đâu có xuất hiện đâu.
- Trong số 599999: các chữ số 1,3,7 không xuất hiện thì xét làm gì...
Một khi một chữ số chẵn (/chữ số lẻ) có trong số đó thì sẽ xuất hiện số chẵn (/số lẻ lần).
- Tự hỏi : số chỉ có 6 chữ số mà xét tất cả các chữ số chẵn, chữ số lẻ , làm sao mà thỏa được !?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 26-06-2023 - 10:28

[chanhquocnghiem]

-Trong số 135766: chữ số 9 đâu có xuất hiện đâu.
- Trong số 599999: các chữ số 1,3,7 không xuất hiện thì xét làm gì...
Một khi một chữ số chẵn (/chữ số lẻ) có trong số đó thì sẽ xuất hiện số chẵn (/số lẻ lần).
- Tự hỏi : số chỉ có 6 chữ số mà xét tất cả các chữ số chẵn, chữ số lẻ , làm sao mà thỏa được !?

Nếu vậy thì đề bài nên sửa lại :

"Có bao nhiêu số có 6 chữ số trong đó bất kỳ chữ số chẵn 0,2,4,6,8 xuất hiện số chẵn lần, còn bất kỳ chữ số lẻ 1,3,5,7,9 xuất hiện $0$ lần hoặc số lẻ lần ?"

Như vậy thì không thể nào hiểu nhầm được

 

 

[Nobodyv3]

Nếu vậy thì đề bài nên sửa lại :
"Có bao nhiêu số có 6 chữ số trong đó bất kỳ chữ số chẵn 0,2,4,6,8 xuất hiện số chẵn lần, còn bất kỳ chữ số lẻ 1,3,5,7,9 xuất hiện $0$ lần hoặc số lẻ lần ?"
Như vậy thì không thể nào hiểu nhầm được

Ý em là vậy.
Sorry anh, em diễn đạt không tốt nên gây hiểu nhầm đề dẫn đến kết quả của anh là 0, nên em cũng chưng hửng luôn!
Nhân đây, em xin phép sửa đề theo anh để rõ hơn.

[chanhquocnghiem]

"Có bao nhiêu số có 6 chữ số trong đó bất kỳ chữ số chẵn 0,2,4,6,8 xuất hiện số chẵn lần, còn bất kỳ chữ số lẻ 1,3,5,7,9 xuất hiện $0$ lần hoặc số lẻ lần ?

-------------------------------------------------------------------------

Trước hết ta tính số xâu $M$ có kích thước $6$, lập từ $\left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$ sao cho bất kỳ chữ số chẵn nào cũng xuất hiện chẵn lần và bất kỳ chữ số lẻ nào cũng xuất hiện lẻ lần hoặc $0$ lần.

Ta có hàm sinh $f(x)=\left ( 1+x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} \right )^5\left ( 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!} \right )^5$

$M=6!\left [ x^6 \right ]f(x)=38425$.

Trong $M$ xâu đó, gọi số xâu bắt đầu bằng $0$ là $N$. Ta tính $N$.

Hàm sinh $g(x)=\left ( x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} \right )\left ( 1+x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} \right )^5\left ( 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!} \right )^4$

$N=5!\left [ x^5 \right ]g(x)=3841$.

Số số thỏa mãn yêu cầu đề bài là $M-N=34584$.

[Nobodyv3]

@chanhquocnghiem: Nếu giải bài này theo cách "truyền thống " thì lời giải có đồ sộ lắm không anh?

[chanhquocnghiem]

@chanhquocnghiem: Nếu giải bài này theo cách "truyền thống " thì lời giải có đồ sộ lắm không anh?

$\textbf{TH A}$ Không có chữ số $0$

1) Có $6$ chữ số lẻ :

  a) Có đúng $5$ chữ số lẻ giống nhau (gọi tắt là dạng $1l_1/5l_2$) : $6P_5^2=120$ số

  b) Dạng $3l_1/3l_2$ : $C_5^2.\frac{6!}{3!3!}=200$ số.

  c) Dạng $1l_1/1l_2/1l_3/3l_4$ : $C_5^1C_4^3.\frac{6!}{3!}=2400$ số.

2) Có đúng $4$ chữ số lẻ :

  a) Dạng $1l_1/3l_2$ : $4P_5^2.\frac{6!}{2!3!}=4800$ số.

  b) Dạng $1l_1/1l_2/1l_3/1l_4$ : $4C_5^4.\frac{6!}{2!}=7200$ số.

3) Có đúng $2$ chữ số lẻ :

  a) Dạng $4c_1/1l_1/1l_2$ : $4C_5^2C_5^2.2!+4P_5^2.5=1200$ số.

  b) Dạng $2c_1/2c_2/1l_1/1l_2$ : $C_4^2.\frac{4!}{2!2!}\left ( C_5^2 \right )^2.2!+C_4^2.\frac{4!}{2!2!}.P_5^2.5=10800$ số

4) Không có chữ số lẻ :

  a) Dạng $2c_1/2c_2/2c_3$ : $C_4^3.\frac{6!}{2!2!2!}=360$ số.

  b) Dạng $2c_1/4c_2$ : $P_4^2.\frac{6!}{2!4!}=180$ số.

  c) Dạng $6c_1$ : $4$ số.

TH A có $27264$ số.

$\textbf{TH B}$ Có chữ số $0$ :

1) Có đúng $2$ chữ số chẵn (là $2$ chữ số $0$) :

  a) Dạng $1l_1/3l_2$ : $P_5^2\left ( \frac{6!}{2!3!}-\frac{5!}{3!} \right )=800$ số.

  b) Dạng $1l_1/1l_2/1l_3/1l_4$ : $C_5^4\left ( \frac{6!}{2!}-5! \right )=1200$ số.
2) Có đúng $4$ chữ số chẵn (gồm $2$ hoặc $4$ chữ số $0$)

  a) Có $4$ chữ số $0$ :

   + Hai chữ số lẻ cạnh nhau : $P_5^2=20$ số.

   + Hai chữ số lẻ cách nhau : $5.4.4=80$ số.

  b) Có $2$ chữ số $0$ :

   + Hai chữ số lẻ cạnh nhau : $4\left ( 3P_5^2+3P_5^2.5 \right )=1440$ số.

   + Hai chữ số lẻ cách nhau : $4\left ( 3.5.4.4+3C_5^2C_5^2.2! \right )=3360$ số

3) Có $6$ chữ số chẵn (gồm $2$ hoặc $4$ chữ số $0$)

  a) Dạng $2c_1/2c_2/2c_3$ (với $c_1=0$) : $C_4^2\left ( \frac{6!}{2!2!2!}-\frac{5!}{2!2!} \right )=360$ số

  b) Dạng $2c_1/4c_2$ (với $c_1=0$) : $C_4^1\left ( \frac{6!}{2!4!}-\frac{5!}{4!} \right )=40$ số

  c) Dạng $4c_1/2c_2$ (với $c_1=0$) : $C_4^1\left ( \frac{6!}{2!4!}-\frac{5!}{3!2!} \right )=20$ số

TH B có $7320$ số.

Tổng cộng có $27264+7320=34584$ số.

[Nobodyv3]

Lời giải tinh tế quá! Em chịu. Thank you so much.