Chủ đề này có 4 trả lời

[vinjr]

Chứng minh với mỗi phương trình $2x^3 - x^2 + x - 1$ và $4x^3 -2x^2 + x - 1$ đều có duy nhất một nghiệm thực. TÍnh tích hai nghiệm đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 26-06-2023 - 19:31
Tiêu đề & LaTeX

[huytran08]

Đặt $f(x)=2x^{3}-x^{2}+x-1;g(x)=4x^{3}-2x^{2}+x-1$

Giả sử $f(x)$ có ít nhất 2 nghiệm thực $a\neq c$

Khi đó:$f(a)-f(c)=0$ 

           $\Leftrightarrow (2a^{3}-a^{2}+a-1)-(2c^{3}-c^{2}+c-1)=0$

           $\Leftrightarrow 2(a^{3}-c^{3})-(a-c)(a+c)+a-c=0$ 

           $\Leftrightarrow (a-c)\left [ (a+c)^{2}+\left ( a-\frac{1}{2} \right )^{2} +\left ( c-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{1}{2}\right ]=0$

           $\Leftrightarrow a=c$ (vô lí)

 Tương tự ta có $g(x)$ có 1nghiệm thực duy nhất là $b$

Dễ chứng minh $a,b\neq 0$

Xét:$g(\frac{1}{2a})=4\left ( \frac{1}{2a} \right )^{3}-2\left ( \frac{1}{2a} \right )^{2}+\frac{1}{2a}-1=\frac{1}{2a^{3}}-\frac{1}{2a^{2}}+\frac{1}{2a}-1$

                                                                           $=\frac{1-a+a^{2}-2a^{3}}{2a^{3}}=\frac{-f(a)}{2a^{3}}=0=g(b)$

     $ \Rightarrow \frac{1}{2a}=b\Rightarrow ab=\frac{1}{2}$

[socialcultural]

Đặt $f(x)=2x^{3}-x^{2}+x-1;g(x)=4x^{3}-2x^{2}+x-1$

Giả sử $f(x)$ có ít nhất 2 nghiệm thực $a\neq c$

Khi đó:$f(a)-f(c)=0$ 

           $\Leftrightarrow (2a^{3}-a^{2}+a-1)-(2c^{3}-c^{2}+c-1)=0$

           $\Leftrightarrow 2(a^{3}-c^{3})-(a-c)(a+c)+a-c=0$ 

           $\Leftrightarrow (a-c)\left [ (a+c)^{2}+\left ( a-\frac{1}{2} \right )^{2} +\left ( c-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{1}{2}\right ]=0$

           $\Leftrightarrow a=c$ (vô lí)

 Tương tự ta có $g(x)$ có 1nghiệm thực duy nhất là $b$

Dễ chứng minh $a,b\neq 0$

Xét:$g(\frac{1}{2a})=4\left ( \frac{1}{2a} \right )^{3}-2\left ( \frac{1}{2a} \right )^{2}+\frac{1}{2a}-1=\frac{1}{2a^{3}}-\frac{1}{2a^{2}}+\frac{1}{2a}-1$

                                                                           $=\frac{1-a+a^{2}-2a^{3}}{2a^{3}}=\frac{-f(a)}{2a^{3}}=0=g(b)$

     $ \Rightarrow \frac{1}{2a}=b\Rightarrow ab=\frac{1}{2}$

Tại sao mình lại cho $\frac{-f\left ( a \right )}{2a^{3}}=g\left ( b \right )$ nhỉ

[vinjr]

Tại sao mình lại cho $\frac{-f\left ( a \right )}{2a^{3}}=g\left ( b \right )$ nhỉ

Vì b là nghiệm duy nhất của g(x)

[HaiDangPham]

Chứng minh với mỗi phương trình $2x^3 - x^2 + x - 1$ và $4x^3 -2x^2 + x - 1$ đều có duy nhất một nghiệm thực. TÍnh tích hai nghiệm đó.

 

Có hai cách để tính tích hai nghiệm của hai phương trình. 

 

Cách 1. Chứng minh $f(x)$ có $a$ là nghiệm duy nhất, $g(x)$ có $b$ là nghiệm duy nhất như bạn huytran08 đã làm. 

Tiếp theo đặt $ab=k$. Suy ra $b=\frac{k}{a}$, thay vào phương trình $4b^3-2b^2+b-1=0$ rồi biến đổi tương đương ta được 

$2a^3-2ka^2+4k^2a-8k^3=0$. Chọn $k=\frac{1}{2}$ thì thấy phương trình trên đúng do $2a^3-a^2+a-1=0$. Vì $a, b$ duy nhất nên $k$ cũng phải duy nhất. Chứng tỏ $ab=\frac{1}{2}$. 

 

Cách 2. Cách này không cần tới việc chứng minh nghiệm duy nhất. Thật vậy gọi $a, b$ lần lượt là nghiệm của $f(x), g(x)$. 

 

Khi đó $a^2(2a-1)=-(a-1)$ và $2b^2(2b-1)=-(b-1)$.

Nhân hai vế tương ứng hai phương trình trên ta được 

$ 2(ab)^2(2a-1)(2b-1)=(a-1)(b-1)$

Khai triển và biến đổi tương đương ta có 

$[(2ab)^3-1]+[2(ab)^2-ab]-(a+b)[(2ab)^2-1]=0$ 

hay

$(2ab-1)[(4b^2-2b)a^2+(2b-1)(-b+1)a+(-b+1)]=0$      $(1)$ 

Bây giờ ta chứng minh

$S=(4b^2-2b)a^2+(2b-1)(-b+1)a+(-b+1)>0$.

Thật vậy đặt $p=2b-1, q=-b+1$. Khi đó

\[\begin{align*} S &=2b(2b-1)a^2+(2b-1)(-b+1)a+(-b+1) \hfill \\ &=(2b-1)^2a^2+(2b-1)a^2+(2b-1)(-b+1)a+(-b+1) \hfill \\ &=p^2a^2+pa^2+pqa+q \hfill \\ &= p^2a^2 +p\left(a+\frac{q}{2}\right)^2+q\left(1-\frac{pq}{4}\right) \end{align*}\]

 

Tiếp theo, từ $4b^3-2b^2+b-1=0$ ta suy ra $8b^3-1=4b^2-2b+1$ hay $(2b-1)(4b^2+2b+1)=4b^2-2b+1$. Điều này chứng tỏ $p=2b-1>0$. 

Mặt khác, ta cũng có $q=-b+1=2b^2(2b-1)$, suy ra $q>0$. 

Hơn nữa, ta có $1-\frac{pq}{4}=\frac{4-(2b-1)(-b+1)}{4}=\frac{2b^2-3b+5}{4}=\frac{(b-3)^2+3b^2+1}{8}$. Chứng tỏ $1-\frac{pq}{4}>0$. 

Vậy $S>0$. Từ $(1)$ ta suy ra $ab=\frac{1}{2}$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 27-06-2023 - 22:31