Chủ đề này có 3 trả lời

[DBS]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.
Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \geq \frac{5}{2}$

Giúp em bài này với ạ!

[tthnew]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.
Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \geq \frac{5}{2}$

Giúp em bài này với ạ!

Bài này được đăng nhiều trên diễn đàn rồi, hơi làm biếng lục lại nên gõ tí:
$$\text{VT}^2=(ab+bc+ca)\sum \frac{1}{(a+b)^2}+2(ab+bc+ca)\sum \frac{1}{(a+b)(b+c)}$$

$$\geq \frac{9}{4}+2(ab+bc+ca)\sum\frac{1}{(a+b)(b+c)}\geq \frac{25}{4}$$

Cần chứng minh $$(ab+bc+ca)\sum\frac{1}{(a+b)(b+c)}\geq 2$$

$$\Leftrightarrow \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0.$$

[DBS]

$$\Leftrightarrow \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0.$$

Chỗ này là hiển nhiên rồi đúng ko bạn?
Không ngờ là đem bình phương lên luôn ấy!

 

 

 

Bài này được đăng nhiều trên diễn đàn rồi, hơi làm biếng lục lại nên gõ tí:
$$\text{VT}^2=(ab+bc+ca)\sum \frac{1}{(a+b)^2}+2(ab+bc+ca)\sum \frac{1}{(a+b)(b+c)}$$

$$\geq \frac{9}{4}+2(ab+bc+ca)\sum\frac{1}{(a+b)(b+c)}\geq \frac{25}{4}$$

Chỗ này hơi gọn, em vẫn chưa hiểu lắm!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 13-11-2020 - 15:41

[tthnew]

@DBS, chỗ đầu tiên là hiển nhiên, chỉ cần chuyển vế sang rút gọn thôi bạn.

Cái thứ $2$ thì bình phương lên$,$ tách ra$,$ sử dụng bất đẳng thức Iran 96 nổi tiếng để đánh giá.

Một các khác$,$ sử dụng Phương pháp pqr để chứng minh.

Trước hết viết bất đẳng thức thành $(ab+bc+ca)\left (\dfrac{1}{(a+b)}+\frac{1}{(b+c)}+\frac{1}{(c+a)} \right )^2\geqslant \dfrac{25}{4} \quad (1)$

Bất đẳng thức ban đầu có thể viết thành:

$$\dfrac{p^2+q}{(pq-r)} \geqslant \dfrac{5}{2}\Leftrightarrow \dfrac{p^2+1}{p-r}\geqslant \dfrac{5}{2}$$

$$\because q=ab+bc+ca=1.$$

Rõ ràng$,$ khi $r$ giảm thì về trái giảm (do $p-r\leq p-r_{\min}$)

Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức này khi $r$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$\bullet$ Khi $a=b,$ $(1) \Leftrightarrow \frac{{c\left( {5{\mkern 1mu} {b^2} - 2{\mkern 1mu} bc + {c^2}} \right)}}{{2b{{\left( {b + c} \right)}^2}}} \geqslant 0$

$\bullet$ Khi $c=0,$ $(1) \Leftrightarrow \frac{{\left( {4{\mkern 1mu} {a^2} + 7{\mkern 1mu} ab + 4{\mkern 1mu} {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{4{{\left( {a + b} \right)}^2}ba}} \geqslant 0$

Done.