Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum\frac{1}{c+a} \geq \frac{5}{2}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Toán, Tiếng Anh
    Không chơi game

Đã gửi 11-11-2020 - 10:10

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.
Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \geq \frac{5}{2}$

Giúp em bài này với ạ!



#2 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 453 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 11-11-2020 - 16:55

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.
Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \geq \frac{5}{2}$

Giúp em bài này với ạ!

Bài này được đăng nhiều trên diễn đàn rồi, hơi làm biếng lục lại nên gõ tí:
$$\text{VT}^2=(ab+bc+ca)\sum \frac{1}{(a+b)^2}+2(ab+bc+ca)\sum \frac{1}{(a+b)(b+c)}$$

$$\geq \frac{9}{4}+2(ab+bc+ca)\sum\frac{1}{(a+b)(b+c)}\geq \frac{25}{4}$$

Cần chứng minh $$(ab+bc+ca)\sum\frac{1}{(a+b)(b+c)}\geq 2$$

$$\Leftrightarrow \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0.$$



#3 DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Toán, Tiếng Anh
    Không chơi game

Đã gửi 13-11-2020 - 15:36

$$\Leftrightarrow \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0.$$

Chỗ này là hiển nhiên rồi đúng ko bạn?
Không ngờ là đem bình phương lên luôn ấy!

 

 

 

Bài này được đăng nhiều trên diễn đàn rồi, hơi làm biếng lục lại nên gõ tí:
$$\text{VT}^2=(ab+bc+ca)\sum \frac{1}{(a+b)^2}+2(ab+bc+ca)\sum \frac{1}{(a+b)(b+c)}$$

$$\geq \frac{9}{4}+2(ab+bc+ca)\sum\frac{1}{(a+b)(b+c)}\geq \frac{25}{4}$$

Chỗ này hơi gọn, em vẫn chưa hiểu lắm!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 13-11-2020 - 15:41


#4 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 453 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 23-11-2020 - 14:24

@DBS, chỗ đầu tiên là hiển nhiên, chỉ cần chuyển vế sang rút gọn thôi bạn.

Cái thứ $2$ thì bình phương lên$,$ tách ra$,$ sử dụng bất đẳng thức Iran 96 nổi tiếng để đánh giá.

Một các khác$,$ sử dụng Phương pháp pqr để chứng minh.

Trước hết viết bất đẳng thức thành $(ab+bc+ca)\left (\dfrac{1}{(a+b)}+\frac{1}{(b+c)}+\frac{1}{(c+a)} \right )^2\geqslant \dfrac{25}{4} \quad (1)$

Bất đẳng thức ban đầu có thể viết thành:

$$\dfrac{p^2+q}{(pq-r)} \geqslant \dfrac{5}{2}\Leftrightarrow \dfrac{p^2+1}{p-r}\geqslant \dfrac{5}{2}$$

$$\because q=ab+bc+ca=1.$$

Rõ ràng$,$ khi $r$ giảm thì về trái giảm (do $p-r\leq p-r_{\min}$)

Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức này khi $r$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$\bullet$ Khi $a=b,$ $(1) \Leftrightarrow \frac{{c\left( {5{\mkern 1mu} {b^2} - 2{\mkern 1mu} bc + {c^2}} \right)}}{{2b{{\left( {b + c} \right)}^2}}} \geqslant 0$

$\bullet$ Khi $c=0,$ $(1) \Leftrightarrow \frac{{\left( {4{\mkern 1mu} {a^2} + 7{\mkern 1mu} ab + 4{\mkern 1mu} {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{4{{\left( {a + b} \right)}^2}ba}} \geqslant 0$

Done.







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh