Chủ đề này có 4 trả lời

[Nobodyv3]

Bài cũ (thầy Namdung : Bài này thú vị đấy. Không có ai giải à? Mọi người có vẻ ngán tổ hợp nhỉ? ):

Tính số cách treo 5 đôi tất trên một dây phơi sao cho không có hai chiếc tất nào cùng đôi được phơi cạnh nhau.

Đề bài OP tại https://diendantoanh...một-bài-tổ-hợp/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 04-07-2023 - 20:49

[chanhquocnghiem]

Bài cũ (thầy Namdung : Bài này thú vị đấy. Không có ai giải à? Mọi người có vẻ ngán tổ hợp nhỉ? ):

Tính số cách treo 5 đôi tất trên một dây phơi sao cho không có hai chiếc tất nào cùng đôi được phơi cạnh nhau.

Đề bài OP tại https://diendantoanh...một-bài-tổ-hợp/

Xem như hai chiếc tất trong cùng một đôi là giống nhau.

Bài toán tương đương với : "Có bao nhiêu cách xếp tất cả các chữ số $1,1,2,2,3,3,4,4,5,5$ thành một hàng sao cho không có hai chữ số giống nhau nào đứng cạnh nhau ?"

---------------------------------------------------

Đa thức Laguerre cho mỗi loại chữ số là

$P_{2,2}(t)=\left [ x^2 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^2)}{1-x^2} \right )=\frac{t^2}{2}-t$

$\Rightarrow$ Số cách xếp (cũng là số cách treo $5$ đôi tất thỏa mãn yêu cầu đề bài) là

$\int_{0}^{\infty}e^{-t}\left ( \frac{t^2}{2}-t \right )^5dt=39480$ cách.

[chanhquocnghiem]

Bài cũ (thầy Namdung : Bài này thú vị đấy. Không có ai giải à? Mọi người có vẻ ngán tổ hợp nhỉ? ):

Tính số cách treo 5 đôi tất trên một dây phơi sao cho không có hai chiếc tất nào cùng đôi được phơi cạnh nhau.

Đề bài OP tại https://diendantoanh...một-bài-tổ-hợp/

(Cách khác)

Gọi $M_k$ là số cách sắp xếp sao cho có ít nhất $k$ loại tất chiếm $2$ vị trí liên tiếp. Ta tính $M_k$ theo cách sau :

    - Chọn $k$ loại tất trong số $5$ loại tất : $C_5^k$ cách.

    - Với mỗi loại tất (trong $k$ loại đã chọn), ta ghép cả $2$ chiếc giống nhau, xem như $1$ chiếc duy nhất. Như vậy, từ $10$ chiếc ban đầu, nay chỉ còn $10-k$ chiếc

    - Sắp xếp ngẫu nhiên $10-k$ chiếc đó : Có $\frac{(10-k)!}{(2!)^{5-k}}=\frac{2^k(10-k)!}{32}$ cách

    $\Rightarrow M_k=C_5^k\ \frac{2^k(10-k)!}{32}$

    Và số cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện đề bài là

    $M_0-M_1+M_2-M_3+M_4=\frac{10!}{2^5}+\sum_{k=1}^{5}C_5^k\frac{(-1)^k2^k(10-k)!}{32}$

   $=\frac{1}{32}\sum_{k=0}^{5}C_5^k(-2)^k(10-k)!=39480$.

 

[Nobodyv3]

Em nghĩ bài này mình phải xem là 2 chiếc tất cùng 1 đôi là phân biệt (tất phải, tất trái).
Khác với bài " có 5 đôi tất... ", đề bài nói rõ ràng là 2 chiếc tất cùng 1 đôi là giống nhau.
Do đó em có lời giải sau:
Vì đề bài không nói gì nên em hiểu là 2 chiếc tất cùng 1 đôi cũng phân biệt (tất phải, tất trái). Vậy thì :
Áp dụng nguyên lý bù trừ ta có số cách treo 5 đôi tất thỏa yêu cầu :
$$\begin{align*} N&=10!-\binom{5}{1}2.9!+\binom{5}{2}2.2.8!-\binom{5}{3}2.2.2.7!\\
&+\binom{5}{4}2.2.2.2.6!-\binom{5}{5}2.2.2.2.2.5!\\&=3628800-3628800+1612800\\
&-403200+57600-3840\\
&=\boldsymbol {1263360}\end{align*}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 04-07-2023 - 23:52

[chanhquocnghiem]

Nếu xem hai chiếc tất của mỗi đôi là khác nhau thì số cách phải nhân với $2^5$, và bằng

$\sum_{k=0}^{5}C_5^k(-2)^k(10-k)!=1263360$.