Tính số cách treo 5 đôi tất trên một dây phơi sao cho không có hai chiếc tất nào cùng đôi được phơi cạnh nhau.
Đề bài OP tại https://diendantoanh...một-bài-tổ-hợp/
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 04-07-2023 - 20:49
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 04-07-2023 - 20:49
Bài cũ (thầy Namdung : Bài này thú vị đấy. Không có ai giải à? Mọi người có vẻ ngán tổ hợp nhỉ? ):
Tính số cách treo 5 đôi tất trên một dây phơi sao cho không có hai chiếc tất nào cùng đôi được phơi cạnh nhau.
Đề bài OP tại https://diendantoanh...một-bài-tổ-hợp/
Xem như hai chiếc tất trong cùng một đôi là giống nhau.
Bài toán tương đương với : "Có bao nhiêu cách xếp tất cả các chữ số $1,1,2,2,3,3,4,4,5,5$ thành một hàng sao cho không có hai chữ số giống nhau nào đứng cạnh nhau ?"
---------------------------------------------------
Đa thức Laguerre cho mỗi loại chữ số là
$P_{2,2}(t)=\left [ x^2 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^2)}{1-x^2} \right )=\frac{t^2}{2}-t$
$\Rightarrow$ Số cách xếp (cũng là số cách treo $5$ đôi tất thỏa mãn yêu cầu đề bài) là
$\int_{0}^{\infty}e^{-t}\left ( \frac{t^2}{2}-t \right )^5dt=39480$ cách.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Bài cũ (thầy Namdung : Bài này thú vị đấy. Không có ai giải à? Mọi người có vẻ ngán tổ hợp nhỉ? ):
Tính số cách treo 5 đôi tất trên một dây phơi sao cho không có hai chiếc tất nào cùng đôi được phơi cạnh nhau.
Đề bài OP tại https://diendantoanh...một-bài-tổ-hợp/
(Cách khác)
Gọi $M_k$ là số cách sắp xếp sao cho có ít nhất $k$ loại tất chiếm $2$ vị trí liên tiếp. Ta tính $M_k$ theo cách sau :
- Chọn $k$ loại tất trong số $5$ loại tất : $C_5^k$ cách.
- Với mỗi loại tất (trong $k$ loại đã chọn), ta ghép cả $2$ chiếc giống nhau, xem như $1$ chiếc duy nhất. Như vậy, từ $10$ chiếc ban đầu, nay chỉ còn $10-k$ chiếc
- Sắp xếp ngẫu nhiên $10-k$ chiếc đó : Có $\frac{(10-k)!}{(2!)^{5-k}}=\frac{2^k(10-k)!}{32}$ cách
$\Rightarrow M_k=C_5^k\ \frac{2^k(10-k)!}{32}$
Và số cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện đề bài là
$M_0-M_1+M_2-M_3+M_4=\frac{10!}{2^5}+\sum_{k=1}^{5}C_5^k\frac{(-1)^k2^k(10-k)!}{32}$
$=\frac{1}{32}\sum_{k=0}^{5}C_5^k(-2)^k(10-k)!=39480$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 04-07-2023 - 23:52
Nếu xem hai chiếc tất của mỗi đôi là khác nhau thì số cách phải nhân với $2^5$, và bằng
$\sum_{k=0}^{5}C_5^k(-2)^k(10-k)!=1263360$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh