Chủ đề này có 2 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Có bao nhiêu cách xếp các chữ cái $a,a,b,b,b,c,c,c,c,d,d,d,d,d$ lên 1 đường tròn sao cho tất cả các chữ cái giống nhau thì không đứng kế nhau.
2/ Có bao nhiêu cách xếp 3 bit 1 và 3 bit 0 lên một đường tròn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 11-07-2023 - 16:09

[Nobodyv3]

1/ Gọi $\left | S \right | =\frac {13!}{2!3!4!5!}= 180180$ là số các hoán vị mà không có ràng buộc gì. Gọi $A,B,C,D$ lần lượt là tập các cách xếp các chữ cái $a,b,c,d$ đã cho trong đó tất cả các chữ cái cùng loại thì đứng kế nhau. Để tính $\left | A \right |$ ta tính số các hoán vị tuyến tính: đưa các chữ cái đứng trên 1 hàng mà đầu hàng là tất cả các chữ cái $a$ đứng kế nhau, ta có : $\left | A \right |=\frac {(3+4+5)!}{3!4!5!}=\frac {12!}{3!4!5!} =27720$. Tương tự, ta có :
$$\begin {align*}
&\quad  \left | B \right |=\frac {11!}{2!4!5!}=6930,\left | C\right |=\frac {10!}{2!3!5!}=2520,\\
&\left | D\right |=\frac {9!}{2!3!4!}=1260, \left | A\cap B \right |=\frac {10!}{1!4!5!}=1260, \\
&\left | A\cap C \right |=\frac {9!}{3!1!5!}=504, \left | A\cap D \right |=\frac {8!}{3!4!1!}=280, \\
& \left | B\cap C\right |=\frac {8!}{2!1!5!}=168, \left | B\cap D \right |=\frac {7!}{2!4!1!}=105,\\
& \left | C\cap D \right |=\frac {6!}{2!3!1!}=60 ,\left | A\cap B\cap C \right |=\frac {7!}{1!1!5!}=42,\\
&\left | A\cap B\cap D \right |=\frac {6!}{1!4!1!}=30,\left | A\cap C\cap D \right |=\frac {5!}{3!1!1!}=20, \\
& \left | B\cap C\cap D \right |=\frac {4!}{2!1!1!}=12,\\
&\left | A\cap B\cap C
\cap D \right |=\frac {3!}{1!1!1!}=6
  \end{align*}$$ Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu là :
$$\begin {align*}
&\quad 180180-(27720+9630+2520+1260)\\
&+(1260+504+280+168+105+60)\\
&-(42+30+20+12)+6\\
&=\boldsymbol {141329}
\end{align*}$$

[Nobodyv3]

2/ Xét lục giác đều có 6 đỉnh được đánh số theo chiều kim đồng hồ và quay quanh tâm đường tròn ngoại tiếp theo chiều này. Ta có nhóm các phép quay như sau :
\begin{align*}
- R_{\,0\degree}&:\;\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
1& 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
\Rightarrow (1)(2)(3)(4)(5)(6):z_1^6\\
- R_{\,60\degree} =
R_{\,300\degree}&:\; \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1
\end{pmatrix}
\Rightarrow(1\,2\,3\,4\,5\,6):2z_6^1\\
- R_{\,120\degree} =
R_{\,240\degree} &:\;\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\Rightarrow (1\,3\,5)(2\,4\,6):2z_3^2\\
- R_{\,180\degree}&:\;\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\Rightarrow(1\,4)(2\,5)(3\,6):z_2^3\\
\Rightarrow \left | Z_G \right |&=\frac {1}{6}\left( z_1^6+2z_6^1+2z_3^2+z_2^3 \right)\\
\end{align*}
$\text{Ta có hàm sinh}: $
\begin{align*}
f(a,b)&=\frac {1}{6}\left[ (a^1+b^1)^6+2(a^6+b^6)^1+2(a^3+b^3)^2+(a^2+b^2)^3 \right] \\
\Rightarrow \left[a^3b^3 \right] f(a,b)&=
\frac {1}{6}\left[ \binom{6}{3}+2\binom{2}{1} \right] = \boldsymbol {4}
\end{align*}
====
Sorry mọi người, Latex Editor báo lỗi hoài, mình phải chơi chiêu này!
======
@hxthanh: Thầy đã sửa giúp. Thank you so much.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 13-07-2023 - 08:03