Chủ đề này có 1 trả lời

[yaWeee]

 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $3^{2n} + 3n^{2} + 7$  là số chính phương.

[ThienDuc1101]

- Xét $n=1$ (loại)

- Xét $n=2$ (t/m)

- Xét $n\geq 3$

Ta có $3^{2n}+3n^2+7>(3^n)^2$

Ta chứng minh $(3^n+3)^2>3^{2n}+3n^2+7\Leftrightarrow 6.3^n+2>3n^2$

Ta chứng minh $6.3^n>3n^2\Leftrightarrow 2.3^n>n^2$

 +) Với $n=3$ (t/m),...

Giả sử mệnh đề đúng đến $n=k(k\in N,k>3)$, ta được $2.3^k>3k^2$

Ta chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$

Thật vậy $2.3^{k+1}=2.3^k+2.3^k+2.3^k>k^2+2k+1=(k+1)^2$ (đpcm)

Kết hợp với $3^{2n}+3n^2+7$ là số chính phương, ta có các TH:

- Xét $3^{2n}+3n^2+7=(3^n+1)^2\Leftrightarrow 3n^2+6=2.3^n$ (loại do $n\geq 3$)

- Xét $3^{2n}+3n^2+7=(3^n+2)^2\Leftrightarrow 3n^2+3=4.3^n$ (loại do $n\geq 3$)

Vậy $n=2$