Chủ đề này có 3 trả lời

[nhancccp]

Giải các phương trình nghiệm nguyên dương sau:

$a)\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

$b)\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=1$

[chuyenndu]

Lời giải

a) giả sử $a\le b\le c$

$1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le \frac{3}{a}\Rightarrow a\le 3\Rightarrow a\in \{1,2,3\}$

thay vào tìm được (3,3,3), (2,3,6), (2,4,4) và các hoán vị

b) tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyenndu: 15-07-2023 - 06:16

[HaiDangPham]

Liệu còn cách nào khác để giải câu a) không? 

[HaiDangPham]

Lời giải sau đây triển khai phương pháp đánh giá bất đẳng thức mà không sắp thứ tự $a, b, c$. 

 

Từ giả thiết ta suy ra $(ab-a-b)c=ab$. Vì $a, b, c$ nguyên dương nên ta  phải có $ab-a-b \geq 1$. Do đó 

$$c=\frac{ab}{ab-a-b}=\frac{(a-1)(b-1)+(a-1)+(b-1)+1}{(a-1)(b-1)-1}=1+\frac{(a-1)+(b-1)+2}{(a-1)(b-1)-1}$$

Đặt $x=a-1, y=b-1, z=c-1$. Khi đó \begin{equation} z=\frac{x+y+2}{xy-1} \end{equation}

Từ giả thiết ta dễ thấy $a,b,c \geq 2$ tức là $x, y, z \geq 1$. Ngoài ra do $ab-a-b \geq 1$ nên $xy \geq 2$.

Suy ra $$z=\frac{x+y+2}{xy-1} \leq \frac{xy+3}{xy-1}=1+\frac{4}{xy-1} \leq 5$$

Do đó $1 \leq z \leq 5$. 

Bây giờ ta viết lại $(1)$ dưới dạng khác là \begin{equation} (zx-1)(zy-1)=(z+1)^2 \end{equation}

Nếu $z=5$ thì $(5x-1)(5y-1)=36$, dẫn tới $x=1, y=2$ hoặc $x=2, y=1$. 

Nếu $z=4$ thì $(4x-1)(4y-1)=25$, không có nghiệm nguyên. 

Nếu $z=3$ thì $(3x-1)(3y-1)=16$, dẫn tới $x=1, y=3$ hoặc $x=3, y=1$. 

Nếu $z=2$ thì $(2x-1)(2y-1)=9$, dẫn tới $x=1, y=5$ hoặc $x=y=2$. 

Nếu $z=1$ thì $(x-1)(y-1)=4$ dẫn tới $x=2, y=5$ hoặc $x=5, y=2$ hoặc $x=y=3$. 

 

Từ đó ta suy ra các nghiệm $(a;b;c)$ là $(2;3;6)$, $(2; 4; 4)$, $(3; 3; 3)$ cùng các hoán vị. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 24-07-2023 - 00:07