Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 karobirot

karobirot

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

Đã gửi 22-11-2020 - 19:54

a,b,c là số thực dương bất kì chứng minh: $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}$



#2 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 434 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Geometry

Đã gửi 22-11-2020 - 21:16

Áp dụng bất đẳng thức hoán vị cho 2 bộ số đơn điệu cùng chiều: $(a^2,b^2,c^2)$ và $\left ( \frac{1}{b^2+c^2},\frac{1}{c^2+a^2},\frac{1}{a^2+b^2} \right )$ ta có điều phải chứng minh.


:mellow:  :mellow:  :mellow:


#3 karobirot

karobirot

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

Đã gửi 23-11-2020 - 15:55

Áp dụng bất đẳng thức hoán vị cho 2 bộ số đơn điệu cùng chiều: $(a^2,b^2,c^2)$ và $\left ( \frac{1}{b^2+c^2},\frac{1}{c^2+a^2},\frac{1}{a^2+b^2} \right )$ ta có điều phải chứng minh.

có thể làm rõ hơn được không vậy



#4 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 434 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Geometry

Đã gửi 23-11-2020 - 18:09

có thể làm rõ hơn được không vậy

Bất đẳng thức hoán vị:

Cho hai bộ số: $a_1\geq a_2\geq ...\geq a_n;b_1\geq b_2\geq ...\geq b_n$. Giả sử $(i_1,i_2,...,i_n)$ là hoán vị bất kì của $(1,2,...,n)$. Khi đó ta có bất đẳng thức:

$a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\geq a_1b_{i_1}+a_2b_{i_2}+...+a_nb_{i_n}$.

Chứng minh:

$BĐT\Leftrightarrow a_1(b_1-b_{i_1})+a_2(b_2-b_{i_2})+...+a_n(b_n-b_{i_n})\geq 0$. (1)

Áp dụng khai triển Abel ta có:

$a_1(b_1-b_{i_1})+a_2(b_2-b_{i_2})+...+a_n(b_n-b_{i_n})=(a_1-a_2)(b_1-b{i_1})+(a_2-a_3)(b_1+b_2-b_{i_1}-b_{i_2})+...+(a_{n-1}-a_n)(b_1+b_2+...+b_{n-1}-b_{i_1}-b_{i_2}-...-b_{i_{n-1}})+a_n(b_1+b_2+...+b_n-b_{i_1}-b_{i_2}-...-b_{i_n})$.

Do $a_1\geq a_2\geq ...\geq a_n;b_1\geq b_2\geq ...\geq b_n$ nên mọi số hạng của tổng trên đều không âm.

Do đó (1) đúng. BĐT được chứng minh.

Trở lại bài toán:

Giả sử a = max{a, b, c}.

+) Nếu $a\geq b\geq c\Rightarrow \frac{1}{b^2+c^2}\geq\frac{1}{c^2+a^2}\geq\frac{1}{a^2+b^2}$.

Áp dụng BĐT hoán vị cho hai bộ số trên với $(\frac{1}{a^2+b^2},\frac{1}{b^2+c^2},\frac{1}{c^2+a^2})$ là hoán vị của $\frac{1}{b^2+c^2},\frac{1}{c^2+a^2},\frac{1}{a^2+b^2}$ ta có đpcm.

Trường hợp còn lại chứng minh tương tự.


:mellow:  :mellow:  :mellow:


#5 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 433 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 23-11-2020 - 18:41

Ta có: $$\text{Vế trái}-\text{Vế phải}=\dfrac{\displaystyle \sum\left(\frac{2}{3}a^6+\frac{1}{3}b^6-a^4b^2 \right )}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}\geq 0,$$

 

hiển nhiên đúng theo AM-GM.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 23-11-2020 - 18:43





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh