Chủ đề này có 1 trả lời

[Sangnguyen3]

Tìm tất cả các sô nguyên tố $p$ để phương trình sau có nghiệm nguyên dương 

$x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+2=y^{3}$

[Sangnguyen3]

$x=1 \Rightarrow y^{3}-1=p \Rightarrow y=2,p=7$

$x\geq 2$

Phương trinh được viết lại thành : $\frac{x^{p}-1}{x-1}=(y-1)(y^{2}+y+1)$

Bổ đề : Cho các số nguyên dương $x,m (x> 1)$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $m\mid \frac{x^{p}-1}{x-1}$ . Khi đó thì $m\equiv 0,1 ( \mod p)$

Chứng minh : https://julielltv.wo...013/12/28/1436/

Quay lại bài toán : 

Từ đó ta có được : $\begin{cases} y-1\equiv 0,1 (\mod p) \\ y^{2}+y+1\equiv 0,1 (\ mod p) \end{cases}$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}p\mid 7 \\ p\mid 2,p\mid 3 \end{array}\right.$

Với $p=7$ thì tìm được ở lúc đầu

Với $p=2 \Rightarrow x+1=y^{3}-1$ , lúc này sẽ tồn tại các số nguyên dương $x,y$ để thỏa mãn điều kiện này 
Tương tự với $p=3$

Các số nguyên tố $p$ thỏa mãn : $\left \{ 2,3,7 \right \}$