Chủ đề này có 8 trả lời

[vugiabao]

I. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG DÙNG

1. $\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2} \right)^2$, $\forall$$a,b\in \mathbb{R}$
2. $\frac{a^3+b^3}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2} \right)^3$, $\forall$$a,b\geq 0$
3. $a^3+b^3\geq ab(a+b)$, $\forall$$a,b\geq 0$
4. $a^4+b^4\geq ab(a^2+b^2)$, $\forall$$a,b\geq 0$
5. $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$, $\forall$$a,b\geq 0$
6. $a^2+ab+b^2\geq \frac{3(a+b)^2}{4}$, $\forall$$a,b\in \mathbb{R}$
7. $\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}$, $\forall$$a,b\in \mathbb{R}$, $a^2+b^2\neq 0$
8. $(1+a)(1+b)\geq \left(1+\sqrt{ab} \right)^2$, $\forall$$a,b\geq 0$
9. $(1+a)(1+b)(1+c)\geq \left(1+\sqrt[3]{abc} \right)^3$, $\forall$$a,b,c\geq 0$
10. $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\geq \frac{2}{1+ab}$, với $ab\geq1$
II. BÀI TOÁN ỨNG DỤNG
Bài 1. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
                        $P= \frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+3a^2+1}}$
Bài 2. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc\leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
                        $A=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}$
Bài 3. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$. Chứng minh rằng:
                       $\frac{a^2}{\sqrt{8a^2+3b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{8b^2+3c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{8c^2+3a^2+14ca}}\leq \frac{a+b+c}{5}$
Bài 4. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$. Chứng minh rằng:
                       $\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
Bài 5. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
                       $C=\frac{1}{4a^2-bc+2}+\frac{1}{4b^2-ca+2}+\frac{1}{4c^2-ab+2}$
Bài 6. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
                       $M=\frac{a+1}{a^2+2a+2}+\frac{b+1}{b^2+2b+2}+\frac{c+1}{c^2+2c+2}$
Bài 7. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3abc$. Chứng minh rằng:
                       $\frac{a^2}{b+2}+\frac{b^2}{c+2}+\frac{c^2}{a+2}\geq 1$
Bài 8. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $ab+bc+ca$=5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
                       $A=\frac{x}{\sqrt{x^2+5}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+5}}+\frac{3z}{\sqrt{6(z^2+5)}}$
Bài 9. Cho $x,y,z\in \mathbb{R^+}$. Chứng minh rằng:
                       $\frac{\sqrt{xy}}{1+\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}+\sqrt{\frac{2\sqrt{yz}}{1+\sqrt{xy}}}\geq 2$
Bài 10. Cho $a,b,\in \mathbb{R^+}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
                       $N=(a+b)\left(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-ab+2a^2}} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vugiabao: 21-08-2023 - 15:39
Dấu ngoặc lớn để bao phân thức \left( \right))

[HaiDangPham]

 

I. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG DÙNG

1. $\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2} \right)^2$, $\forall$$a,b\in \mathbb{R}$
2. $\frac{a^3+b^3}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2} \right)^3$, $\forall$$a,b\geq 0$
3. $a^3+b^3\geq ab(a+b)$, $\forall$$a,b\geq 0$
4. $a^4+b^4\geq ab(a^2+b^2)$, $\forall$$a,b\geq 0$
5. $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$, $\forall$$a,b\geq 0$
6. $a^2+ab+b^2\geq \frac{3(a+b)^2}{4}$, $\forall$$a,b\in \mathbb{R}$
7. $\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$, $\forall$$a,b\in \mathbb{R}$, $a^2+b^2\neq 0$
8. $(1+a)(1+b)\geq \left(1+\sqrt{ab} \right)^2$, $\forall$$a,b\geq 0$
9. $(1+a)(1+b)(1+c)\geq \left(1+\sqrt[3]{abc} \right)^3$, $\forall$$a,b,c\geq 0$
10. $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\geq \frac{2}{1+ab}$, với $ab\geq1$

 

Bất đẳng phụ số 7 bị lỗi. Bạn sửa lại nhé. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 21-08-2023 - 12:15

[vugiabao]

dạ em cảm ơn anh ạ

Bất đẳng phụ số 7 bị lỗi. Bạn sửa lại nhé. 

 

[HaiDangPham]

 

Bài 7. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3abc$. Chứng minh rằng:

                       $\frac{a^2}{b+2}+\frac{b^2}{c+2}+\frac{c^2}{a+2}\geq 1$

 

Ta có $\frac{(a+b+c)^2}{3} \leq a^2+b^2+c^2 =3abc \leq 3.\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3$. 

Suy ra $a+b+c \geq 3$. 

Dùng AM-GM ta được $\frac{a^2}{b+2}+\frac{b+2}{9} \geq \frac{2a}{3}$ và các bất đẳng thức tương tự. 

Cộng chúng lại ta được $$\frac{a^2}{b+2}+\frac{b^2}{c+2}+\frac{c^2}{a+2}\geq \frac{5(a+b+c)-6}{9} \geq 1.$$

Đây là điều cần chứng minh. 

[HaiDangPham]

 

Bài 4. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$. Chứng minh rằng:
                       $\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

 

Ta có $(a+b+c).\sum  \frac{a^2+b^2}{a+b} =\sum \left( a^2+b^2+\frac{a^2c+b^2c}{a+b}\right) =2(a^2+b^2+c^2)+\sum\frac{a^2c+b^2c}{a+b}$. 

Bất đẳng thức ban đầu tương đương với $$ \frac{a^2c+b^2c}{a+b}+\frac{ab^2+ac^2}{b+c}+\frac{bc^2+a^2b}{c+a} \leq a^2+b^2+c^2$$ Ta có \begin{align*} & \frac{a^2c+b^2c}{a+b}+\frac{ab^2+ac^2}{b+c}+\frac{bc^2+a^2b}{c+a} - (a^2+b^2+c^2) \\ &= \frac{a^2c+b^2c}{a+b}-c^2+\frac{ab^2+ac^2}{b+c}-a^2+\frac{bc^2+a^2b}{c+a} -b^2 \\ &=\frac{-ca(c-a)}{a+b}+\frac{bc(b-c)}{a+b}+\frac{-ab(a-b)}{b+c}+\frac{ca(c-a)}{b+c} +\frac{-bc(b-c)}{c+a}+\frac{ab(a-b)}{c+a} \\ &= \frac{-ab(a-b)^2}{(b+c)(c+a)} +\frac{-bc(b-c)^2}{(a+b)(c+a)} +\frac{-ca(c-a)^2}{(a+b)(b+c)} \leq 0 \end{align*}

Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 23-08-2023 - 00:28

[HaiDangPham]

 

Bài 2. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc\leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
                        $A=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}$

 

Đổi biến $\frac{1}{a}=x, \frac{1}{b}=y, \frac{1}{c}=z.$ Điều kiện $x, y, z >0$ và $xyz \geq 1$. 

Ta có $\frac{bc}{a^2b+a^2c}=\frac{bc/a^2bc}{(a^2b+a^2c)/a^2bc}=\frac{1/a^2}{1/b+1/c}=\frac{x^2}{y+z}$. 

Tương tư như vậy, biểu thức $A$ được viết lại thành $$A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}.$$ Áp dụng AM-GM ta được $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4} \geq x$ và các bất đẳng thức tương tự. Cộng các bất đẳng thức đó lại ta suy ra $$ A\geq \frac{x+y+z}{2} \geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2} \geq \frac{3}{2}.$$ Dấu đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$. 

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là $\frac{3}{2}$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 23-08-2023 - 12:52

[truongphat266]

 

I. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG DÙNG

1. $\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2} \right)^2$, $\forall$$a,b\in \mathbb{R}$
2. $\frac{a^3+b^3}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2} \right)^3$, $\forall$$a,b\geq 0$
3. $a^3+b^3\geq ab(a+b)$, $\forall$$a,b\geq 0$
4. $a^4+b^4\geq ab(a^2+b^2)$, $\forall$$a,b\geq 0$
5. $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$, $\forall$$a,b\geq 0$
6. $a^2+ab+b^2\geq \frac{3(a+b)^2}{4}$, $\forall$$a,b\in \mathbb{R}$
7. $\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}$, $\forall$$a,b\in \mathbb{R}$, $a^2+b^2\neq 0$
8. $(1+a)(1+b)\geq \left(1+\sqrt{ab} \right)^2$, $\forall$$a,b\geq 0$
9. $(1+a)(1+b)(1+c)\geq \left(1+\sqrt[3]{abc} \right)^3$, $\forall$$a,b,c\geq 0$
10. $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\geq \frac{2}{1+ab}$, với $ab\geq1$
II. BÀI TOÁN ỨNG DỤNG
Bài 1. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
                        $P= \frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+3a^2+1}}$
Bài 2. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc\leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
                        $A=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}$
Bài 3. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$. Chứng minh rằng:
                       $\frac{a^2}{\sqrt{8a^2+3b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{8b^2+3c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{8c^2+3a^2+14ca}}\leq \frac{a+b+c}{5}$
Bài 4. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$. Chứng minh rằng:
                       $\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
Bài 5. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
                       $C=\frac{1}{4a^2-bc+2}+\frac{1}{4b^2-ca+2}+\frac{1}{4c^2-ab+2}$
Bài 6. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
                       $M=\frac{a+1}{a^2+2a+2}+\frac{b+1}{b^2+2b+2}+\frac{c+1}{c^2+2c+2}$
Bài 7. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3abc$. Chứng minh rằng:
                       $\frac{a^2}{b+2}+\frac{b^2}{c+2}+\frac{c^2}{a+2}\geq 1$
Bài 8. Cho $a,b,c\in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $ab+bc+ca$=5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
                       $A=\frac{x}{\sqrt{x^2+5}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+5}}+\frac{3z}{\sqrt{6(z^2+5)}}$
Bài 9. Cho $x,y,z\in \mathbb{R^+}$. Chứng minh rằng:
                       $\frac{\sqrt{xy}}{1+\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}+\sqrt{\frac{2\sqrt{yz}}{1+\sqrt{xy}}}\geq 2$
Bài 10. Cho $a,b,\in \mathbb{R^+}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
                       $N=(a+b)\left(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-ab+2a^2}} \right)$

 

  Đếm hai cách thật khó            sao tổ hợp lại khó vậy chứ
 

Bài 1.

Có: $$\sum \frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}=\sum \frac{1}{\sqrt{(a^2-ab+b^2)+b^2+(b^2+1)}} \leq \sum $\sum \frac{1}{\sqrt{b(a+b+2)}}=\sum \frac{2}{\sqrt{4b(a+b+2)}}\leq \sum (\frac{1}{4b}+\frac{1}{a+b+2})\leq \sum (\frac{1}{4b}+\frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2))$$ 

Cộng lại được GTLN là: $$\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1$$

 

Bài 5.

 

Đặt: $$(ab;bc;ca) \mapsto (a;b;c)$$

 

Vậy: $$C=\sum \frac{1}{\frac{4ac}{b}-b+2}=\sum \frac{1}{\frac{4ac}{b}-b+2(a+b+c)}=\sum \frac{1}{\frac{4ac}{b}+2a+b+2c}=\sum \frac{b}{4ac+2ab+b^2+2bc}$$

 Nên: $C=\sum \frac{b}{(2a+b)(2c+b)} \geq \sum \frac{4b}{(2a+2b+2c)^2}=\sum \frac{b}{(a+b+c)^2}=1$

 

Bài 6.

 

Đặt: $$(x;y;z)=(\frac{a+1}{\sqrt{3}};\frac{b+1}{\sqrt{3}};\frac{c+1}{\sqrt{3}})$$

 

Có: $$M=\sum \frac{x}{3x^2+1}=\sum \frac{x}{3x^2+\frac{3xyz}{x+y+z}}=\sum \frac{x+y+z}{3(x+y)(x+z)}$$

 

Cần chứng minh: $$M\leq \frac{3}{4}\Leftrightarrow 9(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8(x+y+z)^2$$

 

Áp dụng bất đẳng thức 8 phần 9 thì cần chứng minh: $$xy+yz+zx \geq x+y+z\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq (x+y+z)\sqrt{\frac{3xyz}{x+y+z}}\Leftrightarrow \sum x^2(y-z)^2\geq 0$$

 

Bài 8. Chắc là lượng giác

 

Bài 9.

 

 Đặt: $$(\sqrt{xy};\sqrt{yz}) \mapsto (a;b)$$

 

Điều cần chứng minh tương đương:$$\frac{a}{1+b}+\frac{1}{a+b}+\sqrt{\frac{2b}{1+a}}\geq2$$

 

Mà: $$VT\geq \frac{a}{1+b}+\frac{1}{a+b}+\frac{4b}{1+a+2b}-2+2=\frac{(a-1)^2(a+1+b)}{(1+b)(a+b)(1+a+2b)}+2\geq 2$$

[HaiDangPham]

Bài 1.

Có: $$\sum \frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}=\sum \frac{1}{\sqrt{(a^2-ab+b^2)+b^2+(b^2+1)}} \leq \sum $\sum \frac{1}{\sqrt{b(a+b+2)}}=\sum \frac{2}{\sqrt{4b(a+b+2)}}\leq \sum (\frac{1}{4b}+\frac{1}{a+b+2})\leq \sum (\frac{1}{4b}+\frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2))$$ 

Cộng lại được GTLN là: $$\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1$$

 

Bài 5.

 

Đặt: $$(ab;bc;ca) \mapsto (a;b;c)$$

 

Vậy: $$C=\sum \frac{1}{\frac{4ac}{b}-b+2}=\sum \frac{1}{\frac{4ac}{b}-b+2(a+b+c)}=\sum \frac{1}{\frac{4ac}{b}+2a+b+2c}=\sum \frac{b}{4ac+2ab+b^2+2bc}$$

 Nên: $C=\sum \frac{b}{(2a+b)(2c+b)} \geq \sum \frac{4b}{(2a+2b+2c)^2}=\sum \frac{b}{(a+b+c)^2}=1$

 

Bài 6.

 

Đặt: $$(x;y;z)=(\frac{a+1}{\sqrt{3}};\frac{b+1}{\sqrt{3}};\frac{c+1}{\sqrt{3}})$$

 

Có: $$M=\sum \frac{x}{3x^2+1}=\sum \frac{x}{3x^2+\frac{3xyz}{x+y+z}}=\sum \frac{x+y+z}{3(x+y)(x+z)}$$

 

....

 

Bài 9.

 

 Đặt: $$(\sqrt{xy};\sqrt{yz}) \mapsto (a;b)$$

 

Điều cần chứng minh tương đương:$$\frac{a}{1+b}+\frac{1}{a+b}+\sqrt{\frac{2b}{1+a}}\geq2$$

 

Mà: $$VT\geq \frac{a}{1+b}+\frac{1}{a+b}+\frac{4b}{1+a+2b}-2+2=\frac{(a-1)^2(a+1+b)}{(1+b)(a+b)(1+a+2b)}+2\geq 2$$

 

Các ký hiệu toán học ở những chỗ bôi đỏ trên theo mình đã được dùng không chuẩn. $\frac{3}{2}$ tương đương với/khi và chỉ khi $a=b=c=1$ là như thế nào? Cũng chưa thấy ở đâu việc đặt ẩn phụ lại phải dùng tới ký hiệu của bộ số, hay ánh xạ cả. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 23-08-2023 - 17:16

[HaiDangPham]

Bài 6. Vì $ab+bc+ca+abc=2$ nên $$(a+1)(b+1)(c+1)=abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1=(a+1)+(b+1)+(c+1)$$. Đặt $x=\frac{1}{a+1}, y=\frac{1}{b+1}, z=\frac{1}{c+1}$. Khi đó $\frac{1}{xyz}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ hay $xy+yz+xz=1.$
Tiếp theo viết lại $$\frac{a+1}{a^2+2a+2}=\frac{x}{x^2+1}=\frac{x}{x^2+xy+yz+xz}=\frac{x}{(x+y)(x+z)}$$ và từ các biểu thức tương tự ta suy ra \begin{align*} \sum \frac{a+1}{a^2+2a+2}&=\sum \frac{x}{(x+y)(x+z)} \\&=\frac{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{(x+y)(y+z)(z+x)} \\ &=\frac{2}{(x+y)(y+z)(x+z)}. \end{align*}
Biến đổi tiếp \begin{align*} (x+y)(y+z)(z+x)& =xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+2xyz \\ &=(xy+yz+zx)(x+y+z)-xyz \\ &=x+y+z-xyz.\end{align*}
Ta có $(x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+zx)$ và $27(xyz)^2 \leq (xy+yz+zx)^3$, suy ra $x+y+z \geq \sqrt{3}$ và $xyz \leq \frac{1}{3\sqrt{3}}$. Do đó $$x+y+z-xyz \geq \sqrt{3}-\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{8}{3\sqrt{3}}.$$
Từ đây suy ra $$\sum \frac{a+1}{a^2+2a+2} \leq \frac{2}{8/3\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 05-09-2023 - 10:07